Но если само понятие доказательств настолько туманно даже в математике, ответить на ежегодный вопрос проекта Edge не так уж легко. Лучшее, что можно сделать, – это придумать что-нибудь, во что мы верим, но не можем доказать, просто ради собственного удовольствия. Другие могут соглашаться или не соглашаться с нами, в зависимости от того, насколько они доверяют нам в сфере науки, философии, какой-то другой области, на основании нашей репутации и наших предыдущих работ. Даже готовность математиков прошлого принять теорему Гёделя о неполноте (которая позволила бы мне в ответ на вопрос Edge сказать, что я верю, что в арифметике нет внутренних противоречий) уже невозможна. Теорема Гёделя показала: невозможно доказать, что теория, основанная на аксиомах, например, арифметика, свободна от противоречий, если мы пытаемся сделать это в рамках этой самой теории. Но это не значит, что этого нельзя доказать в рамках более обширной теории. На самом деле в стандартной теории, основанной на наборе аксиом, можно доказать, что арифметика лишена противоречий. Лично я верю этим доказательствам. Для меня как математика непротиворечивость арифметики полностью доказана, к моему полному удовольствию.
Поэтому, чтобы ответить на вопрос проекта Edge, нужно относиться к доказательствам с точки зрения здравого смысла. Тогда доказательства – это просто аргументы, способные убедить разумного, профессионального, скептичного, опытного эксперта в соответствующей области. В этом духе я могу перечислить достаточно узкие математические проблемы, которые считаю верными, но не могу этого доказать, начиная со знаменитой гипотезы Римана. Но я предпочитаю использовать свой математический взгляд, чтобы указать на неопределенность самого понятия «доказательство». Я верю (хотя и не могу этого доказать), что могу доказать свою точку зрения.
Фримен Дайсон
Фримен Дайсон – почетный профессор физики Института последипломного образования Принстонского университета. Автор нескольких научно-популярных книг, в том числе «Воображаемые миры» и «Солнце, геном и Интернет».
Я – математик, и поэтому мой ответ на этот вопрос будет точным. Благодаря Курту Гёделю мы знаем, что существуют математические утверждения, которые невозможно доказать. Но мне этого мало. Мне нужно утверждение, достаточно истинное, недоказуемое и простое, чтобы его смогли понять не только математики, но и обычные люди. Вот оно.
Возьмем геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Это ряд чисел: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и т. д. Назовем их «числами первого ряда». Возьмем геометрическую прогрессию со знаменателем 5: 5, 25, 125, 625 и т. д. Назовем их «числами второго ряда». Можно взять любое число, например, 131 072 (оно входит в первый ряд чисел), и записать его в обратном порядке: 270 131. Мое утверждение таково: число, обратное числу из первого ряда, никогда не принадлежит к числам из второго ряда.
Кажется, что числа первого ряда возникают в случайном порядке, безо всякой системы. Если бы число, обратное числу из первого ряда, принадлежало к числам из второго ряда, это было бы невероятное совпадение, и вероятность этого тем меньше, чем больше числа. Если предположить, что эти числа появляются случайно, то вероятность совпадения для любого числа из первого ряда, которое больше миллиарда, меньше одной миллиардной. Легко проверить, что этого не происходит для чисел из первого ряда, которые меньше миллиарда. Поэтому вероятность, что это когда-нибудь произойдет, меньше одной миллиардной. Вот почему я верю, что это утверждение истинно.
Но предположение о том, что числа из первого ряда появляются случайно, также подразумевает, что это утверждение недоказуемо. Любые доказательства этого утверждения должны быть основаны на каком-то неслучайном, закономерном свойстве этих чисел. Предположение о случайности означает, что это утверждение истинно, просто потому что шансы говорят в его пользу. Но это невозможно доказать, так как нет обоснованных математических причин, по которым это может быть истинным. (Замечание для экспертов: это доказательство неприменимо к геометрической прогрессии со знаменателем 3. В этом случае утверждение легко доказать, потому что число, обратное числу, делящемуся на 3, тоже делится на 3. Делимость на 3 – закономерное свойство чисел.)
Несложно найти другие примеры утверждений, которые, скорее всего, истинны, но недоказуемы. Главное – найти бесконечную последовательность событий, каждое из которых может произойти случайно, но с небольшой суммарной вероятностью того, что хотя бы одно из них произойдет. Тогда утверждение о том, что ни одно из событий никогда не произойдет, скорее всего, будет истинно, но недоказуемо.
Ребекка Гольдштейн
Ребекка Гольдштейн – писатель и профессор философии колледжа Тринити в Хартфорде, Конн. Автор книги «Неполнота: доказательство и парадокс Курта Гёделя» и шести научно-фантастических романов, в том числе «Вопрос об отношении души и тела» и «Свойства света: роман о любви, предательстве и квантовой физике».
Я верю, что научные теории помогают выйти – каким-то непостижимым образом – за рамки наблюдаемого физического мира и проникнуть в суть природы. Теоретические аспекты научных теорий – выраженные в терминах, не связанных с непосредственным наблюдением – на самом деле, как мне кажется, невозможно превратить в наблюдения. Но научные теории не являются алгоритмическими «черными ящиками», куда мы складываем наблюдения, а потом вытаскиваем свои прогнозы. Я верю, что теоретические аспекты теорий содержат в себе описания, и они истинны (или ложны) в том же прозаическом смысле, в котором истинны (или ложны) наблюдения, на которых они основаны. Они истинны в том случае (и лишь в том случае), если соответствуют реальности.
Проникнуть в суть природы, которую невозможно наблюдать, можно посредством абстрактных математических вычислений. Во многом это и делает науку таинственной – достаточно таинственной, чтобы ее методы логично и последовательно (даже если при этом неубедительно, как минимум, для меня) опровергали радикальные антиреалисты. Трудно объяснить, как науке удается делать то, что она делает – и особенно трудно объяснить, как квантовая механика описывает ненаблюдаемую реальность. Ненаблюдаемые аспекты природы, о которых мы можем знать, должны также поддаваться математическому выражению и быть адекватно связаны с наблюдениями. Титаны XVII века, например, Галилей и Ньютон, выяснили, как сочетать математику с эмпирикой. Они не знали, сработает это или нет, позволит ли открыть новые тайны природы, как это делала аристотелевская телеологическая методология, которую должна была заменить новая парадигма. Чтобы оправдать свою методологию, они сделали множество предположений о математической природе мира и его фундаментальном соответствии нашим когнитивным способностям (они считали, что это соответствие – свидетельство милосердия Господа по отношению к нам).
Также я верю, что не все свойства природы поддаются математическому выражению (это совершенно естественно; подобным образом можно выразить только некоторые, особые свойства). Некоторые стороны природы мы никогда не постигнем с помощью науки. Поэтому наши научные теории – как и формальные математические системы (как подтвердил Гёдель) – всегда останутся неполными. Эту неполноту демонстрирует сам факт сознания – аспекта материального мира, который нам известен, но не потому, что нам его открыла наука.
