Давайте взглянем на эти числа и постараемся углядеть закономерность. Смотрите внимательно. Они скачут вроде бы без всякого порядка.
На самом же деле эти числа получаются применением следующего простого правила: «вычитайте, если возможно, а если невозможно — то складывайте». Чтобы получить n-й член, мы берем (n - 1)-й и либо прибавляем к нему, либо вычитаем из него n. Правило гласит, что следует применять вычитание во всех случаях кроме тех, когда результат оказался бы или отрицательным числом, или числом, уже присутствующим в последовательности. Вот как вычисляются первые четыре члена, если начать с нуля (нулевого члена):
Первый член равен нулевому члену плюс 1.
Результат: 1.
Мы должны складывать, потому что вычитание 1 из 0 дало бы -1, что запрещено.
Второй член равен первому члену плюс 2.
Результат: 3.
Мы снова должны складывать, потому что вычитание 2 из 1 дало бы -1, что запрещено.
Третий член равен второму члену плюс 3.
Результат: 6.
Мы должны складывать, потому что вычитание 3 из 3 дало бы 0, который уже присутствует в последовательности.
Четвертый член равен третьему члену минус 4. Результат: 2.
Мы должны вычитать, коль скоро это возможно.
И так далее.
Во время всего этого довольно занудливого процесса мы имеем дело с целыми числами и получаем ответы, которые выглядят совершенно бессистемными. Однако закономерность, которая здесь возникает, можно увидеть, если изобразить последовательность в виде графика. По горизонтальной оси отложим номер члена, так что n-й член будет расположен над числом n, а по вертикальной оси — значение этого члена. График для первой тысячи членов последовательности Рекамана не похож, наверное, ни на один из ранее виденных вами графиков. Он подобен брызгам из садового распылителя, или же рисунку ребенка, пытающегося соединить точки друг с другом. (Толстые линии на графике — это скопления точек, выглядящие так из-за неподходящего масштаба.) «Интересно посмотреть, сколь много порядка можно привнести в хаос, — заметил Слоун. — Последовательность Рекамана находится ровно на границе между хаосом и изящной математикой, поэтому-то она так и захватывает».
Последовательность Рекамана
Столкновение порядка и беспорядка в последовательности Рекамана можно выразить и музыкально. В «Энциклопедии» имеется функция, позволяющая прослушать любую последовательность, как если бы она была записана с помощью нот. Представим себе, что имеется фортепиано с 88 клавишами (что составляет диапазон чуть меньше восьми октав). Число 1 соответствует самой нижней ноте, число 2 — второй ноте снизу, и так далее, до числа 88, которое соответствует самой верхней ноте. Когда ноты заканчиваются, мы опять начинаем снизу, так что число 89 возвращает нас к первой клавише. Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5 звучат как восходящая гамма, повторяющаяся без конца. Но музыка, создаваемая последовательностью Рекамана, леденит кровь. Она подобна саундтреку из фильма ужасов. Она звучит негармонично, однако не воспринимается как нечто совершенно хаотичное. Можно различить отчетливые музыкальные фразы, как если бы за какофонией скрывалось творение таинственной человеческой руки
[49].
Вопрос, который интересует математиков, — все ли числа встречаются в последовательности Рекамана. Были изучены 1025 членов последовательности, и оказалось, что наименьшее из не присутствующих чисел — это 852 655. Слоун подозревает, что в конце концов в этой последовательности появятся все числа, включая и 852 655, но это его предсказание пока не доказано. Нет ничего удивительного в том, что Слоун находит последовательность Рекамана столь увлекательной.
Другой фаворит Слоуна — это последовательность Гийсвийта
[50]. В отличие от многих последовательностей, которые растут с победоносной быстротой, последовательность Гийсвийта растет с тягучей неторопливостью, способной свести с ума. Она представляет собой прекрасную метафору идеи «никогда не сдаваться»:
(А90822) 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 2…
Первая тройка появляется на девятом месте. Четверка первый раз возникает на 221-м месте. Появление пятерки ожидается не раньше, чем ад замерзнет — она возникнет на месте с номером 10100000000000000000000000.
Это экстремально большое число. Например, вся Вселенная содержит только 1080 элементарных частиц. В конце концов появится и шестерка, но на таком расстоянии от начала, которое разумно можно описать только как степень степени степени степени степени:
. Остальные числа тоже рано или поздно возникнут, хотя — и это следует подчеркнуть — не выказывая при этом решительно никакой спешки. «Земля умирает, даже океаны умирают, — замечает Слоун с поэтическим пафосом, — но приют и спасение можно найти в абстрактной красоте последовательности типа А090822 Диона Гийсвийта».
* * *
Древние греки уделяли простым числам серьезное внимание. Но еще больше они были очарованы числами, которые называли совершенными. Рассмотрим число 6: числа, на которое оно делится, его делители, — это 1, 2 и 3. Если сложить 1, 2 и 3 — voilà, снова получается 6. Совершенное число — это любое число, которое, подобно шестерке, равно сумме своих делителей. (Строго говоря, у 6 есть еще делитель 6, но при рассмотрении совершенных чисел имеет смысл включать только те делители, которые меньше данного числа.) Следующее за шестеркой совершенное число — это 28, потому что числа, на которые оно делится, — это 1, 2, 4, 7 и 14, а их сумма равна как раз 28. Не только греки, но и евреи и христиане приписывали космологическое значение такому численному совершенству. Живший в XI веке выдающийся богослов и писатель Рабан Мавр писал: «Шесть не потому совершенно, что Бог сотворил мир за 6 дней, но Бог совершил акт творения за 6 дней потому, что число это совершенно».
Греки обнаружили также неожиданную связь между совершенными и простыми числами, которая породила многочисленные связанные с ними приключения. Рассмотрим последовательность удвоений, начинающуюся с 1:
