Этот логический парадокс может привести к выводам, важным для Вселенной. Во что встроена Вселенная и из чего состоит эта встроенная часть? На какой границе прекращается такая «вставка»? Парадокс Рассела убеждает нас в том, что не может существовать множество, содержащее всё. Итак, что такое Вселенная, какое множество ее содержит, если не существует множества, способного содержать всё? Ограниченность познаваемого во вселенной огорчительна и указывает на нашу прирожденную неспособность когда-либо узнать все о творении. Это положение будет разъяснено ниже.
Теория множеств была создана мятежным немецким гением, математиком Георгом Кантором, умершим в лечебнице для душевнобольных в 1918 году. Всю свою жизнь Кантор посвятил попыткам понять бесконечность. Он считал, что эти размышления приближают его к Богу, держащему ключи от бесконечности, познать которую хотел Кантор. Кантору принадлежит несколько блестящих открытий в области чистой математики – например, существование различных уровней бесконечности и возможность совершать арифметические действия с бесконечными числами.
Говорят, у Кантора был такой восприимчивый ум, что он мог в каком-то смысле «видеть» бесконечность. Он стал первым математиком в истории человечества, который в одиночку по-настоящему выявил ее глубинные свойства. Он смог доказать, что не все бесконечные множества одинаково велики. Например, число целых чисел, хотя оно и бесконечно велико, все же меньше, чем количество всех чисел, находящихся на реальной числовой прямой. Это множество включает не только положительные и отрицательные целые числа, но и все положительные и отрицательные отношения целых чисел, множество которых, как показал Кантор, равно по мощности множеству целых чисел, а также содержит множество иррациональных чисел, таких как π и e, – действительных или вещественных чисел. Именно иррациональные числа заполняют, по сути, числовую ось, создавая ее истинную плотность.
Действительные числа расположены «бесконечно плотно». Между любыми двумя из них, независимо от того, насколько близко друг к другу они расположены, находится бесконечное множество других чисел. Ни у одного числа нет «следующего» за ним, так как если вы выберете такое «следующее число», то сможете поместить между ним и «предыдущим» бесконечное число других чисел.
Теперь мы видим, что идея бесконечной мультивселенной, столь любимая новыми атеистами, является совершенно абсурдной. Понятие о существовании мультивселенной используется для того, чтобы «найти» единственную Вселенную в этом бесконечном множестве, которая совершенно случайно удовлетворяла бы требованиям, необходимым для существования жизни (так как мы знаем, что параметры нашей Вселенной очень хорошо для этого подходят). По этой причине нам необходим континуум параметров, из которых можно выбирать наши, поскольку параметры Вселенной являются «точными» числами (например, π или e). Выбирать надо такие параметры, которые находятся в этом континууме, а он имеет мощность бесконечности очень высокого порядка. Даже если возразить на это, что любое число на числовой прямой можно с любой степенью точности аппроксимировать рациональным числом, мощность множества которого (мощность их бесконечного множества) является, как доказал Кантор, мощностью множества целых чисел, то мы все равно получим удручающе громадное число возможных вселенных.
Но где находятся все эти «бесконечно плотно упакованные» другие вселенные, которые нужны для того, чтобы мог работать предложенный механизм отбора? Эти вселенные должны существовать на таком же расстоянии друг от друга, как точки на прямой действительных чисел (или по меньшей мере как расположенные на ней рациональные числа). Очень трудно наглядно представить себе этот математический феномен. Если бы вокруг нас, на самом деле, существовало такое великое множество вселенных, то почему не произошло столкновения хотя бы с одной из них?
Кантору часто досаждали менее одаренные математики, находившие его труды абсолютно неправдоподобными. Непрерывные нападки усугубили течение душевного недуга. Ученый постоянно страдал от повторявшихся приступов депрессии, из-за которых попадал в психиатрические лечебницы, где был вынужден находиться по несколько месяцев, после чего ему постепенно становилось лучше. Вся жизнь Кантора прошла в таких неблагоприятных условиях, когда периоды творчества сменялись длительными периодами госпитализации и вынужденного отдыха.
Конфликт, кроме того, принял и религиозную окраску. Главным противником Кантора был берлинский математик Леопольд Кронекер, который изводил Кантора излюбленной фразой: «Бог создал целые числа, а все остальные – человек!» Кронекер не верил, что существуют такие числа, как π или e, находящиеся в континууме действительных чисел. Конфликт был также и философским, ибо бесконечность является нереальным, «идеальным» понятием. Правда, Кантору посчастливилось обладать глубоким, интуитивным пониманием бесконечности, превосходившим чистую логику. Для большинства из нас бесконечность так огромна, что мы не можем наглядно ее себе представить.
Сегодня понятно, что труды Кантора отличались безупречной корректностью и подлинным новаторством, они открыли важный новый путь к познанию бесконечности. Но при всем успехе идей Кантора было одно затруднение, которое даже он не смог преодолеть, – проблема «гипотезы континуума», гласящей, что нет такого множества, мощность которого находится строго между мощностью множества целых чисел и мощностью множества действительных чисел. Доказательство этой гипотезы могло бы ответить на вопрос о том, как много уровней бесконечности находится между бесконечностью множества целых чисел и бесконечностью множества всех чисел прямой действительных чисел.
Целью Кантора было понять смысл пространства и определить его составляющие. Как таковые его рассуждения касались тех же проблем, какие пытался решать за 150 лет до него Лейбниц, когда изобрел монаду как основной строительный блок физического пространства, духовной и метафизической реальности. Кантора тоже отличал, помимо чисто математического, духовный подход к проблеме. Ученый был глубоко верующим лютеранином с еврейскими корнями, его предки были родом из Дании и Санкт-Петербурга. Кантор был убежден, что Бог «указал» ему: «гипотеза континуума верна», а это означает, что после бесконечного множества целых чисел (и правильных дробей) сразу идет бесконечность действительных чисел.
На самом деле мы не в состоянии наглядно представить себе пространство и составляющее его бесконечное множество точек. Этот факт имеет отношение к физике и космологии, так как заставляет предположить, что реальное пространство, в котором мы живем, отнюдь не является «ничем», а обладает загадочной глубинной структурой. Поскольку, как мы увидим, нам никогда не удастся (пользуясь нашим математическим аппаратом) доказать справедливость гипотезы континуума, постольку у человечества нет надежды когда-либо полностью понять природу пространства. Физики же пока не вполне осознали, до какой степени проблемы чистой математики, не поддающиеся решению, могут влиять на наши знания о пространстве, времени, Вселенной и ее происхождении.
Для того чтобы приблизиться к лучшему пониманию Вселенной, нам следовало бы узнать, точно ли математическое пространство отображает реальное физическое пространство-время, или существуют другие возможности его описания. Вполне допустимо, например, что квантовые эффекты делают пространство и время «зернистыми» (то есть состоящими из мельчайших, подобных песчинкам элементов), а не континуальными. Как бы то ни было, исследование пространства и его точек выводит нас в царство бесконечности, суть которой мы не в состоянии постичь полностью.
