Рассуждая с философской точки зрения, можно сказать, что бесконечность принадлежит Богу, ибо людям не дано ни понять, ни воспринять ее каким-либо осмысленным способом, несмотря на прогресс в математике, достигнутый Кантором и его последователями. Для таких религиозных мыслителей, как Кантор, Бог и есть бесконечность – нечто сущее, каковое мы не в состоянии ни понять, ни адекватно описать.
Находясь в ссылке в Арчетри, Галилей посвятил много времени размышлениям о бесконечности и постиг глубокую истину: множество всех положительных целых чисел имеет тот же порядок, что и множество квадратов всех целых чисел. Галилей показал это, ставя в соответствие 1 и 1, 2 и 4, 3 и 9 и т. д. То, что бесконечное множество можно поставить во взаимно однозначное соответствие с подходящим его же подмножеством, иллюстрирует свойство, присущее бесконечным множествам. Этот пример показывает, насколько необычна и непостижима бесконечность.
Простой, но удивительный пример, показывающий необычные свойства бесконечных множеств – это мысленный эксперимент, названный бесконечной гостиницей или гостиницей Гильберта (по имени великого немецкого математика Давида Гильберта, который его описал). Предположим, что после долгого и утомительного перелета вы прибыли в один странный город и, к своему огорчению, обнаружили, что в гостиницах города нет ни одного свободного места. Наконец вы узнаете, что в городе есть гостиница, которая называется «Бесконечной гостиницей», поэтому вы можете пойти туда и попытать счастья. Вы спрашиваете у портье, есть ли в гостинице свободные номера, но он в ответ лишь с сожалением качает головой. «Извините, – говорит он, – у нас действительно бесконечное число номеров, но все они заняты». Вы взвешиваете ответ: удивительно, в гостинице бесконечное число номеров, но они все до одного заняты. Вдруг вам в голову приходит замечательная идея. «Послушайте, – говорите вы, – мне, действительно необходим номер. Вы не можете оказать мне одну любезность?» «Я постараюсь, – отвечает портье». «Отлично, – говорите вы. – Тогда переселите постояльца из первого номера во второй, из второго в третий, из третьего в четвертый и так далее до бесконечности. Сделав это, вы освободите для меня первый номер».
Эта история демонстрирует невероятное свойство бесконечных множеств: вы ставите во взаимно однозначное соответствие все номера, начиная со второго, со всеми номерами, начиная с первого, показав, что в обоих множествах одинаковое количество чисел (это бесконечность низшего порядка – множество целых и рациональных чисел).
Кантор обозначил свои порядки бесконечности, мощности бесконечных множеств, буквой алеф. Вероятно, он прибегнул к этому обозначению, вспомнив о своих еврейских корнях: в Каббале Бога обозначают как бесконечность, а первой буквой слова «бесконечность» в иврите является алеф. Исследования бесконечности, выполненные Кантором, очень напоминают то, что каббалисты делали нематематическими способами в попытке понять свойства бесконечности, чтобы узнать что-то о Боге.
Однако в случае гипотезы континуума математический аппарат не работает: мы не в состоянии доподлинно понять истинные уровни существующей бесконечности и то, в каком отношении находятся эти уровни друг с другом. Возможно, если не работает математический анализ, то стоит прибегнуть к метафизическим рассуждениям. Именно так и поступил Кантор. Всю свою жизнь, преодолевая трудности и невзгоды, он не жалел усилий, чтобы полностью понять бесконечность, и поэтому обратился к духовности, услышав Бога, говорившего ему, что гипотеза континуума верна. Для Кантора Бог был кульминацией всех алефов, уровнем бесконечности столь великим, что он оказался недостижимым (даже с применением операций возведения в степень) ни с какого нижележащего уровня бесконечности. Концепция Бога как наивысшего из возможных уровней бесконечности находится вне пределов наших математических способностей. Так решил Кантор.
Видимо, всякий раз, когда Кантор проводил слишком много времени, пытаясь доказать гипотезу континуума, он в конце концов впадал в депрессию. Блестящий математик, он чувствовал, что должен доказать эту теорему. В Канторе мы видим сочетание трех сущностей: математики, духовности и человеческого разума. Все три сущности были направлены на Вселенную в попытке разгадать ее смысл. Математика оказалась мощнейшим инструментом в анализе и познании реального физического мира. Духовность правит там, где нет места логике, математике и науке. Человеческий разум позволяет обдумать и оценить все, что происходит вокруг нас.
Измученный болезнями Кантор чувствовал, что с помощью математики, ее логических законов и строгого аппарата сможет ответить на вопросы о бесконечности и природе пространства. До этого момента такой подход открыл перед ним настоящий «рай» неожиданных и великих математических открытий. Давид Гильберт говорил о них так: «Никто не сможет теперь изгнать нас из рая, открытого Кантором». На международном конгрессе математиков, состоявшемся в 1900 году, Гильберт представил гипотезу континуума Кантора, как первую из десяти проблем математики (позднее их стало 23), которые, как надеялся Гильберт, будут решены в XX веке. Тем не менее гипотеза континуума по сей день остается недоказанной: мы до сих пор не знаем, из чего состоит пространство и какова его структура в понятиях бесконечных множеств.
Я привел пример Кантора не только потому, что мы обсуждаем проблему бесконечности, имеющую непосредственное отношение к дискуссии о структуре и происхождении Вселенной, но и для того, чтобы показать, что в некоторых случаях строгий физико-логический анализ отказывается служить нам. Физики лишь пользуются математикой, но не творят ее. Истины, находящие применение в физике, выводятся часто в форме более общей, чем это требуется для конкретных приложений творцами чистой математики. Математическая деятельность отличается от работы физиков. Математики используют логику, но иногда руководствуются также интуицией и внутренними ощущениями. Бывает, что математики «видят» (порой даже во сне) результат, прежде чем строго его доказать.
Мы считаем, что Вселенной управляют строгие логические законы, но на самом деле квантовая теория и идеи чистой математики основаны не на одной только логике. Кантор руководствовался психологией не в меньшей мере, чем логикой. Здесь мы видим, как человеческий разум воспаряет над рационализмом и логическим мышлением. Человеческий разум опирается на сущности, выходящие за рамки механистических и эволюционных явлений; в них есть что-то еще, позволяющее нашему разуму творить вещи, недоступные компьютерам, собакам и обезьянам. Я верю, что этот таинственный элемент нашего сознания (например, способность Кантора видеть бездонную глубину бесконечности) имеет божественное происхождение.
В 1937 году блестящий австрийский математик (страдавший, как и Кантор, душевными расстройствами) Курт Гёдель сумел доказать, что, находясь внутри нашей математической системы, мы не в состоянии ни подтвердить, ни опровергнуть гипотезу континуума. (Доказательство Гёделя было в 1963 году дополнено Полом Коэном из Стэнфордского университета.) Это означает, что некоторые истины о бесконечности не могут быть нами познаны в принципе. Бесконечность настолько сложна, что, как бы мы ни старались, никогда не сможем познать ее до конца. Это высказывание – не догадка, не гипотеза, а математически строго доказанное утверждение, принятое всеми математиками мира.
