Математики очень гордятся этой абсолютной уверенностью, а учёные-естественники склонны немного ей завидовать. Дело в том, что в естествознании невозможна полная уверенность в каком-либо утверждении. Как бы хорошо чья-то теория ни объясняла существующие наблюдения, в любой момент кто-то может сделать новое, необъяснимое наблюдение, которое поставит под сомнение всю существующую объяснительную структуру. Хуже того, кто-то может достичь лучшего понимания, которое объясняет не только все существующие наблюдения, но и то, почему предыдущие объяснения казались подходящими, будучи при этом совершенно ошибочными. Галилей, например, обнаружил новое объяснение того издревле известного факта, что земля у нас под ногами находится в состоянии покоя, — причём объяснение, предполагающее движение Земли. Виртуальная реальность — которая может сделать так, что одна среда будет казаться другой — подчёркивает тот факт, что, когда наблюдение выступает как высший арбитр между теориями, не может быть полной уверенности в том, что существующее объяснение, каким бы очевидным оно ни было, хотя бы отдалённо является истиной. Но когда в качестве арбитра выступает доказательство, достижение уверенности считается возможным.
Говорят, что правила логики были впервые сформулированы в надежде на то, что они обеспечат непредвзятый и безошибочный метод разрешения всех споров. Этой надежде не суждено было сбыться. Изучение самой логики открыло, что область действия логической дедукции как средства раскрытия истины серьёзно ограничена. При наличии существенных допущений о мире можно сделать выводы дедуктивно; но эти выводы будут не надёжнее, чем допущения. Единственный тип утверждений, которые логика может доказать, не прибегая к допущениям, — это тавтологии, то есть такие утверждения, как «все планеты являются планетами», которые не содержат ничего нового. В частности, все существенные естественнонаучные вопросы находятся за пределами той области, где можно уладить споры с помощью одной лишь логики. Однако считается, что математика находится в пределах этой области. Таким образом, математики ищут абсолютную, но абстрактную истину, в то время как естественники утешают себя мыслью, что могут обрести реальное и полезное знание физического мира. Но они должны принять, что на это знание не даётся гарантий. Оно всегда является временным и всегда будет подвержено ошибкам. Идея о том, что наука характеризуется «индукцией», методом обоснования, который считается аналогом логической дедукции, но чуть более подверженным ошибкам, — это попытка извлечь всё возможное из этого кажущегося второсортного статуса научного знания. Вместо дедуктивно обоснованной уверенности, возможно, мы удовольствуемся индуктивно обоснованной «почти-уверенностью».
Как я уже говорил, не существует такого метода доказательства, как «индукция». Идея найти путь к «почти-уверенности» в науке — это миф. Каким образом я мог бы «почти-достоверно» доказать, что завтра не опубликуют удивительную новую физическую теорию, опровергающую мои самые неоспоримые допущения относительно реальности? Или то, что я не нахожусь внутри генератора виртуальной реальности? Но всё это вовсе не говорит о том, что научное знание действительно «второсортно». Ибо идея о том, что математика даёт достоверное знание, — это тоже миф.
С древних времён идея о привилегированном статусе математического знания часто ассоциировалась с идеей о том, что некоторые абстрактные сущности не просто являются частью структуры реальности, но даже более реальны, чем физический мир. Пифагор считал, что закономерности в природе есть выражение математических соотношений между натуральными числами. «Числу все вещи подобны»
[43] — таков был его девиз. Он не имел это в виду совершенно буквально, однако Платон пошёл ещё дальше и по существу отрицал реальность физического мира вообще. Он считал, что наши кажущиеся ощущения этого мира ничего не стоят или вводят в заблуждение, и доказывал, что физические объекты и явления, которые мы воспринимаем, — всего лишь «тени» или несовершенные копии их идеальных сущностей («форм» или «идей»), существующих в отдельном царстве, которое и есть истинная реальность. В этой области, кроме всего прочего, существуют формы чистых чисел, таких как 1, 2, 3…, и формы математических действий, таких как сложение и умножение. Мы можем воспринять некоторые тени этих форм, когда кладём на стол одно яблоко, потом ещё одно и видим, что на столе два яблока. Однако яблоки выражают «единственность» и «двойственность» (и, раз уж на то пошло, «яблочность») лишь несовершенно. Они не являются совершенно идентичными, а потому в действительности на столе никогда нет двух экземпляров чего-либо. На это можно возразить, что число два представимо также, если положить на стол два различных объекта. Но и такое представление несовершенно, потому что в этом случае мы должны допустить, что на столе также есть клетки, отпавшие от яблок, пыль и воздух.
В отличие от Пифагора, Платон не испытывал особого пристрастия к натуральным числам. Его реальность содержала формы всех понятий. Например, она содержала форму совершенного круга. «Круги», которые мы видим, никогда не являются настоящими кругами. Они не идеально круглые, не идеально плоские; у них есть конечная толщина и т. д. Все они несовершенны.
Затем Платон указал проблему. Принимая во внимание всё это земное несовершенство (и, мог бы добавить он, наш несовершенный сенсорный доступ даже к земным кругам), как вообще мы можем знать то, что мы знаем о реальных, совершенных кругах? Очевидно, что мы обладаем знанием о них, но каким образом? Где Евклид приобрёл знание геометрии, которое выразил в своих знаменитых аксиомах, если у него не было ни подлинных кругов, ни точек, ни прямых? Откуда исходит уверенность в математическом доказательстве, если никто не способен ощутить те абстрактные сущности, на которые оно ссылается? Ответ Платона заключался в том, что знание о таких вещах мы получаем не из этого мира теней и иллюзий, а непосредственно из реального мира форм. Мы обладаем совершенным врождённым знанием того мира, которое, как он считал, забывается при рождении, а затем скрывается под слоями ошибок, вызванных тем, что мы доверяем своим чувствам. Но реальность можно вспомнить, усердно применяя «разум», что даёт затем абсолютную уверенность, которой никогда не обеспечивает опыт.
Интересно, кто-нибудь когда-нибудь верил в эту весьма сомнительную фантазию (включая самого Платона, который всё-таки был очень компетентным философом, считавшим, что публике стоит говорить благородную ложь)? Тем не менее поставленная им проблема — откуда у нас берётся знание абстрактных сущностей, не говоря уж об уверенности в нём, — достаточно реальна, а некоторые элементы предложенного Платоном решения с тех пор стали частью господствующей теории познания. В частности, фактически все математики до сегодняшнего дня без критики принимают основную идею о том, что математическое и естественнонаучное знание проистекает из различных источников и что «особый» источник математики придаёт ей абсолютную достоверность. Сейчас этот источник математики называют математической интуицией, однако он играет ту же самую роль, что и «воспоминания» Платона о царстве форм.
