Понятие интервала между двумя событиями определяет то, что можно назвать «хроногеометрией» (или, если угодно, «хроногеометрией») пространства-времени, т. е. обобщение геометрии обычного пространства в том виде, как она определяется понятием расстояния между двумя точками. Геометрию пространства можно представить себе мысленно, изображая вокруг каждой точки P геометрическое место точек, находящихся на единичном расстоянии от точки P, т. е. сферу. Аналогично, хроногеометрию пространства-времени можно изобразить, представив вокруг каждого события P множество событий, разделенных с P единичным квадратом интервала. Однако, поскольку квадрат интервала между двумя событиями может быть положительным, отрицательным или нулевым, мы видим, что полное представление о хроногеометрии пространства-времени будет складываться из определения для каждой точки P форм, соответствующих трем типам событий: (i) события, разделенные с Р квадратом интервала, равным плюс один; (ii) события, разделенные с Р квадратом интервала, равным минус один; и (iii) события, разделенные с Р нулевым интервалом.
Эти множества событий не представляют собой сферы, как в случае евклидовой геометрии. Читатель найдет представление множеств (i), (ii) и (iii) на рис. 3. Заметим, что множество (iii) представляет собой двойной конус, состоящий из двух конусов, соединенных своими вершинами (один конус направлен «в верх» пространства-времени, т. е. к тому, что традиционно называется будущим, тогда как другой конус направлен «в низ» пространства-времени, т. е. к прошлому). Поскольку этот конус представляет собой события, связанные с событием Р посредством светового луча, он называется «световым конусом». Множество (i) имеет форму песочных часов (иными словами, выглядит как два конуса, соединенные своими вершинами, а затем деформированные таким образом, чтобы образовать горловину, через которую может сыпаться песок). Множество (ii) состоит из двух отдельных поверхностей: одна находится в верхней части светового конуса (направленного в будущее), а другая – в нижней его части (направленной в прошлое).
Рисунок 3, на котором представлена хроногеометрия пространства-времени, по своему виду напоминает то, что можно было бы назвать мировой шахматной доской. «Мир» в смысле Минковского означает пространство-время, тогда как структура «шахматной доски» определяет правила, разрешающие ходы между «клетками шахматной доски», т. е. между разными событиями пространства-времени. Например, световой конус указывает на возможность соединения двух событий посредством обмена световым лучом. Интересно также отметить, что шахматная доска состоит из фигур, напоминающих песочные часы. Временной поток отсутствует в пространстве-времени, однако каждые песочные часы напоминают нам о том, что даже в этом мире, существующем вне времени, структуры имеют вид необратимого потока. Возможно, Гераклит, представлявший себе время ребенком, играющим в шахматы
{49}, как свидетельствует эпиграф к этой главе, оценил бы такой образ мировой шахматной доски.
Мировая шахматная доска Минковского ничего не содержит. Она представляет собой пространственно-временной фон, который обрамляет существование материи и ее взаимодействия. Чтобы придать наблюдаемое значение хроногеометрии этого мира, необходимо заполнить его объектами, способными почувствовать эту хроногеометрию. Напомним, что, как и в приведенном выше примере мира насекомых на полу, объект, такой как насекомое, имеющий заметную продолжительность жизни, оставляет след в виде трубы, проходящей снизу вверх в пространстве-времени. Жизнь человека также описывается подобной пространственно-временной трубой (рис. 4). Эта труба соответствует ходулям в приведенном выше отрывке из Пруста. Отметим также, что интуиция Пруста не обманула: эта труба занимает место, гораздо более значительное во времени, нежели в пространстве.
Действительно, при измерении, как уже говорилось, продолжительности в секундах, а расстояния в световых секундах эта труба имеет (временную) высоту в несколько миллиардов секунд, а ее (пространственная) ширина составляет лишь несколько миллиардных долей одной световой секунды. Другими словами, соотношение между высотой и шириной составляет порядка миллиарда миллиардов. В предельном случае, когда рассматриваемый объект обладает очень малыми пространственными размерами, скажем атом или элементарная частица, его пространственно-временная трубка сводится к обычной линии, толщиной которой можно пренебречь. Эта пространственно-временная линия пересекает пространство-время снизу вверх и заканчивается лишь там, где данная частица появляется или исчезает (см. пример на рис. 3).
Наконец, важно понять, что происходит с парадоксом близнецов в пространстве-времени. Для понимания сути этого явления необходимо рассмотреть хроногеометрию пространственно-временного треугольника. Пусть это будет пространственно-временной треугольник ABC (рис. 5). Стороны треугольника представляют собой пространственно-временные линии, связанные с парой часов идентичного производства. Первые часы идут вдоль стороны AC (направленной «по времени», т. е. соответствующей отрицательному квадрату интервала), в то время как вторые часы идут изначально вдоль стороны AB, а затем вдоль стороны BC (обе эти стороны также направлены по времени). Тот факт, что стороны АВ и ВС наклонены по отношению к стороне AC, соответствует при разложении пространства-времени на обычное пространство и время утверждению, что вторые часы, положение которых совпадало с положением первых в начале (а именно в событии A), начинают удаляться, а затем приближаются с постоянной скоростью, пока не встретятся снова в пространственно-временной точке C.
Согласно теории относительности, длительность жизни часов
{50} определяется исключительно суммарным интервалом вдоль пространственно-временной линии часов. Таким образом, первые часы будут отсчитывать длительность, равную длине (в смысле Минковского) стороны AC, а вторые – суммарную длину двух других сторон треугольника: AB + BC. Хроногеометрия пространства-времени, т. е. форма «песочных часов», определяющая мировую шахматную доску, говорит нам, что суммарный интервал сторон треугольника AB + BC короче интервала, соответствующего третьей стороне AC. Иначе говоря, количество тиков вторых часов, перемещающихся из A в В, а затем из B в С, меньше числа тиков первых часов, выбравших прямой маршрут в пространстве-времени из A в С. Данное «пространственно-временное неравенство треугольников»
{51} имеет противоположенный эффект, нежели неравенство треугольников обычного евклидова пространства, согласно которому сумма сторон всегда длиннее третьей стороны. Это различие вызвано особенностью формы пространственно-временной хроногеометрии, в которой теорема Пифагора содержит один знак минус для квадратов сторон прямоугольного треугольника, направленных по времени.
