Так как мы это делаем? И как должны бы?
Эта история начинается в Англии в XVIII веке. Рассказ пойдет о той области исследований, против которой были бессильны умы величайших математиков того времени, даже из числа духовенства, – об азартных играх.
Рассуждения наоборот с преподобным Байесом
Если мы будем использовать значения, которые применяли, чтобы оценить прошлое, для оценки будущего, то надо иметь в виду: они всего лишь вероятны, не более того.
Дэвид Юм
Более 250 лет назад вопрос прогнозирования будущих событий, исходя только из маленьких данных, крайне занимал преподобного Томаса Байеса, пресвитерианского священника, жившего в чудесном городе-курорте с минеральными водами Танбридж-Уэллс в Англии.
Если бы мы купили десять билетов для игры в новую неизвестную лотерею, размышлял Байес, и пять из них выиграли бы приз, оценить шанс на победу в такой лотерее было бы довольно просто: пять из десяти, или 50 %. Но если мы купим лишь один билет и он выиграет приз? Можем ли мы на основании этого предположить, что вероятность выигрыша один к одному, или 100 %? Это слишком оптимистично, не так ли? Если так, то насколько слишком оптимистично? Что же мы должны на самом деле угадать?
Для человека, оказавшего такое влияние на историю логических размышлений в условиях неизвестности, история самого Байеса остается не слишком известной. Ирония судьбы. Он родился в 1701 или 1702 году в английском графстве Хертфордшир, а возможно, и в самом Лондоне. И в 1746 (или же 1747, 1748 или 1749) году он написал одну из самых значимых работ в математике, не стал ее публиковать и занялся другими вещами. Между двумя этими вехами есть место и некоторой ясности. Будучи сыном священника, Байес посещал Эдинбургский университет, где изучал теологию, и был посвящен в духовный сан, подобно своему отцу. Он интересовался математикой и теологией и в 1736 году написал очень эмоциональный ответ в защиту «новомодной» по тем временам теории вычислений Ньютона, подвергшейся нападкам епископа Джорджа Беркли. Это привело к тому, что в 1742 году Байес был избран в качестве члена научного Королевского общества, в которое он был рекомендован как «джентльмен, владеющий знаниями в геометрии и во всех разделах математической и философской наук».
После смерти Байеса в 1761 году, его друга Ричарда Прайса попросили оценить труд Байеса в области математики, чтобы понять, представляет ли он ценность и стоит ли его публиковать.
Прайс натолкнулся на одно эссе своего друга, которое восхитило его. По его словам, работа «имеет огромную ценность и должна быть сохранена». Эссе было посвящено как раз размышлениям о лотерее:
…представим, что лотерейный билет лежит перед человеком, который ничего не знает ни о правилах розыгрыша, ни о соотношении количества пустых лотерейных билетов к количеству призов. Далее предположим, что он должен определить это соотношение из количества выигравших билетов в сравнении с количеством призов, и от этого зависит, какие выводы он сможет сделать.
Критический подход Байеса, в рамках которого он пытался использовать выигрышные и проигрышные билеты, чтобы проанализировать всю совокупность билетов, представляет собой обратный логический анализ.
Чтобы сделать это, по его мнению, сначала мы должны проигрывать все возможные варианты. Другими словами, в первую очередь нам необходимо определить вероятность, по которой мы вытянули бы те билеты, которые вытянули, если различные сценарии были бы верны. Эта вероятность, известная в современной науке о статистике как правдоподобная вероятность, дает нам необходимые данные для решения задачи. Например, представьте, что вы купили три билета и все они выиграли. Тогда, если бы правила лотереи были бы настолько щедрыми, что выигрывал бы каждый билет, наша ситуация «три из трех» случалась бы постоянно; это стопроцентный шанс в этом сценарии. Если же, напротив, выигрывала бы только половина лотерейных билетов, то ситуация «три из трех» случалась бы
количество раз, то есть
часть от всех случаев.
А если бы на тысячу билетов полагался только один приз, то возможность троекратного выигрыша была бы крайне мала:
или один шанс из миллиарда.
Байес рассуждал, что мы, соответственно, должны считать более вероятным предположение, что все билеты являются выигрышными, нежели гипотезу, что только половина из них может принести выигрыш. В свою очередь, более вероятен тот факт, что половина билетов «счастливая», нежели тот, что выиграет лишь один из тысячи. Возможно, мы уже интуитивно это поняли, но логика Байеса предлагает нам возможность количественно выразить это интуитивное предположение. При всеобщем равенстве вещей мы должны представить, что тот факт, что все билеты выигрышные, в восемь раз более вероятен, чем тот, что только половина из них принесет выигрыш, потому что билеты, которые мы вытянули, в восемь раз более вероятно имеют шансы на победу
в этом сценарии. Следовательно, тот факт, что половина билетов принесет выигрыш, ровно в 125 раз вероятней того, что приз получит только один билет из тысячи (что мы получаем при сопоставлении
Это самая сложная часть размышлений Байеса. Предположения на основе гипотетического прошлого дают нам основание мыслить в обратном порядке – от самого невероятного к самому вероятному.
Подход был изобретательный и инновационный, но и с помощью него невозможно было окончательно решить задачу про лотерею. Представляя результаты Байеса перед членами Королевского общества, Прайс смог установить тот факт, что если вы приобретете один лотерейный билет и он выиграет, то вероятность того, что по меньшей мере половина билетов выиграет, равна 75 %. Однако размышления о вероятностях вероятностей могут свести с ума. И если бы кто-то спросил нас: «Ну хорошо, но какова же все-таки вероятность выигрыша в лотерее?» – нам все равно было бы нечего сказать. Ответ на этот вопрос – как же преобразовать все эти различные возможные гипотезы в единое четкое предположение – будет получен только несколькими годами позднее французским математиком Пьером-Симоном Лапласом.
