Стоит отметить, что существование ранних предположений имеет решающее значение в работе этой формулы. Если ваш друг просто подойдет к вам со словами: «Я подбросил монетку, взятую из этого мешка, и выпал орел. Как думаешь, какова вероятность, что это обычная монета?» – вы не сможете ответить на этот вопрос, не имея никакой, хоть мало-мальской информации о том, какие монеты вообще были в этом мешке. (Вы не можете перемножить две вероятности, не имея значения одной из них.) Это предположение, что было в мешке до подбрасывания монетки (то есть шансы каждой гипотезы оказаться верной еще до получения каких-либо точных данных), получило название априорной вероятности. И согласно правилу Байеса вам всегда требуется некоторая априорная вероятность, даже если это просто догадки. Сколько всего существует двухсторонних монет? Насколько легко их достать? И в какой степени ваш друг – аферист, в конце концов?
Из-за того что правило Байеса всегда зависит от использования априорных вероятностей, на разных этапах истории оно считалось спорным, предвзятым и даже антинаучным. Но в действительности мы довольно редко попадаем в настолько незнакомую ситуацию, что наш разум становится подобен чистому листу (пункт, к которому мы сейчас вернемся).
Между тем, когда у вас есть некие значения априорных вероятностей, правило Байеса применимо к широкому кругу проблем прогнозирования, будь то большие объемы данных или более общий вид малых данных. Вычисление вероятности выигрыша в лотерею или выбрасывания орла – это только начало. Методы, разработанные Байесом и Лапласом, придут на помощь в любой ситуации, где есть некая неопределенность и какое-то количество данных для работы. И это как раз то, с чем мы имеем дело, пытаясь предсказать будущее.
Принцип Коперника
Предсказывать очень трудно, особенно будущее.
Датская пословица
Оказавшись у Берлинской стены, Ричард Готт задал себе простой вопрос: «Где я нахожусь?» – что означало: «В какой точке всего периода существования данного артефакта я оказался?» В некотором роде он задал временной вариант пространственного вопроса, который преследовал астронома Николая Коперника за 400 лет до этого: где же мы? Где во Вселенной находится Земля? Коперник совершил радикальный переворот в сознании людей, предположив, что Земля на самом деле вовсе не находится в центре Вселенной, а по сути, вообще нигде не находится. Готт решил предпринять аналогичный шаг, но в отношении времени.
Он предположил, что момент, в который он увидел Берлинскую стену, не был особенным: это был абсолютно обычный момент всего существования стены. И если каждый момент обладает абсолютно равной вероятностью, то в среднем момент появления Готта пришелся четко на экватор (поскольку с вероятностью 50 % стена могла рухнуть до этого момента и с такой же вероятностью рухнет позже). Грубо говоря, если у нас нет других вводных, мы можем считать, что появились точно на экваторе существования любого феномена
[22]. В таком случае лучшее предположение, которое мы можем высказать относительного того, сколько это явление еще просуществует, очевидно: ровно столько же, сколько оно уже существовало. Готт наблюдал Берлинскую стену спустя восемь лет после ее возведения, поэтому, по его предположению, она должна была простоять еще восемь. (Стена продержалась 20 лет.)
Это простое рассуждение, которое Готт назвал принципом Коперника, легло в основу не менее простого алгоритма, который можно использовать для различного рода предсказаний любых событий. Не имея никаких ожиданий, мы могли бы применять его, чтобы спрогнозировать не только падение Берлинской стены, но и окончание любого количества других кратких или продолжительных явлений. Например, принцип Коперника предсказывает, что как нация США просуществует примерно до 2255 года, Google – приблизительно до 2032-го, а отношения, которые начал ваш друг месяц назад, вероятно, продлятся еще месяц (возможно, не стоит пока принимать приглашение на его свадьбу).
Подобным образом этот принцип советует нам иногда проявить скептицизм. Например, на недавней обложке The New Yorker появилось изображение человека, который держит шестидюймовый смартфон со знакомой сеткой иконок на экране, с подписью «2525». Сомнительно. Смартфону, как мы знаем, «исполнилось» всего 10 лет, и, согласно принципу Коперника, вряд ли он «протянет» до 2025 года, не говоря уж о еще пяти столетиях. В 2525 году будет несколько удивительно, если сам Нью-Йорк еще будет стоять.
Фактически, если вы подумывали устроиться на работу на строительный объект, объявление на котором сообщает, что «прошло семь дней после производственной аварии», вы наверняка откажетесь от своего намерения, если, конечно, не ищете работу на очень короткий срок. Если местная транспортная система не может позволить себе установить крайне удобные, но дорогие табло, информирующие, когда подойдет следующий автобус, принцип Коперника подскажет нам куда более простую и дешевую альтернативу. Зная, когда на этой остановке останавливался предыдущий автобус, мы можем предугадать, когда ждать следующий.
Но верен ли принцип Коперника? После того как Готт опубликовал свою гипотезу в Nature, журнал получил шквал писем с критикой. И становится понятно почему, когда мы пытаемся проверить это правило на более знакомых примерах. Согласно принципу Коперника, 90-летний человек может дожить до 180 лет, а каждый мальчик шести лет должен умереть в 12. Чтобы понять, почему иногда принцип Коперника работает, а иногда нет, нам нужно вернуться к Байесу: несмотря на свою очевидную простоту, принцип Коперника на самом деле – лишь частный пример правила Байеса.
Байес против Коперника
Предсказывая будущее, в частности продолжительность существования Берлинской стены, нам необходимо оценить все возможные периоды существования явления: простоит ли стена один день, месяц, год, 10 лет? Чтобы применить правило Байеса, как мы видели, в первую очередь мы должны определить априорную вероятность всех этих периодов. И оказывается, что принцип Коперника – это как раз результат применения правила Байеса с использованием неинформативного априорного распределения.
Сперва может показаться, что в условии есть противоречие. Если правило Байеса всегда требует от нас указания априорных ожиданий и убеждений, как мы можем их указать при отсутствии таковых? В случае с лотереей оправдаться незнанием можно было бы, допустив одинаковую априорную вероятность, которая подразумевает, что любое соотношение выигрышных билетов одинаково вероятно
[23]. В случае с Берлинской стеной неинформативное априорное распределение означает, что мы ничего не знаем о временнóм интервале, который пытаемся предугадать: то есть стена может с равной вероятностью окончить свое существование в ближайшие пять минут или остаться еще на пять веков.
