При экспоненциальном распределении чем дольше что-то происходит, тем дольше, по нашим ожиданиям, это будет происходить. Таким образом, экспоненциальное событие тем больше удивит нас, чем дольше мы его ждали, и максимально изумит как раз перед своим наступлением.
Нация, корпорация или организация с каждым прошедшим годом становится все более глобальной, поэтому всегда поразительно, когда она прекращает свое существование.
При нормальном распределении события удивляют нас тогда, когда происходят рано (поскольку мы предполагаем, что они достигнут средней отметки своей продолжительности), но не в том случае, когда они происходят поздно. На самом деле нам кажется, что они опаздывают, и чем дольше мы ждем, тем сильнее мы рассчитываем, что они произойдут.
При распределении Эрланга события по определению никогда не удивят нас сильнее или слабее в зависимости от того, когда они произойдут. Любое явление всегда имеет равную вероятность завершиться вне зависимости от того, как долго оно существовало. Неудивительно, что политики всегда думают о своем следующем переизбрании.
Азартные игры характеризуются аналогичной сравнительно устойчивой вероятностью. Если бы ваше ожидание победы при игре на рулетке характеризовалось нормальным распределением, то сработало бы правило расчета средней вероятности: после неудачи правило подсказало бы вам, что ваше число выпадет в любую секунду и, возможно, за этим последует несколько еще более проигрышных вращений рулетки. (В этом случае было бы логично дождаться следующего выигрыша и закончить игру.) Если же ожидание победы происходит по экспоненциальному распределению, то правило умножения вероятностей сообщит вам, что выигрышные вращения рулетки последуют один за другим, но при этом, чем дольше продолжается «засуха», тем дольше она, вероятно, продлится. (В этом сценарии было бы верно продолжать игру некоторое время после выигрыша, но сразу же закончить ее после первого проигрыша.)
Перед лицом распределения без последействия, как бы то ни было, вы оказываетесь в тупике. Правило сложения подскажет вам, что ваш шанс на победу тот же, что и час назад, и тот же, что ожидает вас час спустя. Ничего не меняется. Вас не наградят за то, что вы выстояли и закончили на хорошей ноте; нет здесь и переломного момента, когда вам следует остановиться, чтобы обойтись малой кровью.
В своей песне «Игрок» Кенни Роджерс дал знаменитый совет, что вам необходимо «знать, когда уйти, знать, когда бежать», но для распределения без последействия не существует правильного времени, чтобы остановиться. Отчасти этим можно объяснить зависимость от азартных игр.
Понимание того, какое распределение имеет место в вашем случае, влияет на все.
Когда гарвардский биолог и активный популяризатор науки Стивен Джей Гулд узнал, что у него рак, его первым порывом было ознакомиться с соответствующей медицинской литературой. Затем он выяснил, почему врачи не советовали ему этого делать: половина всех пациентов с такой же разновидностью рака умерли в течение восьми месяцев после того, как узнали свой диагноз. Однако такая статистика не сказала ему ничего о распределении выживших пациентов. При нормальном распределении правило расчета средней вероятности могло бы сделать достаточно точный прогноз относительно того, как долго Гулд мог бы прожить: около восьми месяцев. Однако при экспоненциальном распределении ситуация была бы иная: правило умножения подсказало бы нам, что чем дольше он продолжал жить, тем больше доказательств того, что он проживет еще дольше. Читая дальше, Гулд узнал, что «кривая распределения была на самом деле очень асимметрична с правой стороны и ее длинный (хотя и тоненький) „хвост“ тянулся на несколько лет дальше медианы восемь месяцев». «Я подумал, – писал он, – что нет причин, по которым я не должен попасть в этот маленький хвостик, и вздохнул с огромным облегчением». Гулд прожил еще 20 лет после того, как впервые узнал о своем заболевании.
Малые данные и разум
Эти три правила – правило умножения вероятностей, правило расчета средней вероятности и правило сложения вероятностей – применимы к широкому спектру повседневных бытовых ситуаций. И из этих ситуаций можно выйти удивительно удачно, просто выбрав нужное правило. В аспирантуре Том вместе с Джошем Тененбаумом из Массачусетского технологического института провел эксперимент, прося разных людей делать прогнозы относительно различных повседневных вещей (таких как продолжительность жизни, сборы фильма в прокате или время, которое американский политик занимает свою должность), опираясь в каждом случае на один-единственный показатель: возраст на данный момент, заработанные к настоящему времени деньги, стаж работы на сегодняшний день. Затем они сравнили прогнозы, сделанные людьми, с прогнозами, полученными в результате применения правила Байеса к фактическим реальным данным по каждой из этих областей.
Как выяснилось, прогнозы участников эксперимента были весьма близки к прогнозам согласно правилу Байеса. Интуитивно люди делали различные варианты прогнозов для значений, следующих разным режимам распределения: экспоненциальному, нормальному или распределению Эрланга. Иными словами, если вы не знаете или не можете вспомнить, под какое из правил вероятности подпадает ваша ситуация, то ваши ежедневные прогнозы, как правило, отражают различные случаи возникновения этих распределений в жизни и разные пути их функционирования.
В свете того, что мы знаем о правиле Байеса, эта удивительная человеческая способность подталкивает нас к важным выводам, которые помогают понять, как же люди делают прогнозы. Малые данные – это, по сути, скрытые большие данные. Причина, по которой нам часто удается делать точные прогнозы на основе лишь нескольких наблюдений (или вовсе единственного), кроется в том, что наши априорные вероятности весьма высоки. Осознаем мы это или нет, но в наших головах скрываются удивительно точные априорные прогнозы о кассовых сборах фильмов и продолжительности показов, о длине стихотворений и сроке политических полномочий, не говоря уж о продолжительности жизни. Нам не приходится собирать эти данные в явном виде, мы впитываем их из окружающего мира.
Тот факт, что наши прогнозы в целом соответствуют прогнозам по правилу Байеса, также дает нам возможность декомпилировать все виды априорных распределений, включая те, о которых сложно получить надежные данные. Например, висение на проводе в попытке дозвониться в службу клиентской поддержки – это прискорбно общий аспект человеческого опыта, но при этом в открытом доступе не существует никаких данных о статистике времени ожидания, каковые есть, например, о кассовых сборах голливудских блокбастеров. Но если прогнозы людей основаны на их опыте, то мы можем воспользоваться правилом Байеса, чтобы провести скрытую рекогносцировку мира, анализируя ожидания. Когда Том и Джош просили людей предсказать время ожидания ответа оператора с одной точки измерения, результаты показали, что все субъекты использовали в основном правило умножения вероятностей: общее время удержания звонка согласно их ожиданиям в
раз дольше чем им приходилось ждать до сих пор. Это согласуется и с применением экспоненциального распределения в априорной вероятности, когда возможен широкий диапазон значений. Надеюсь, вам не придется ждать целую вечность! За последнее десятилетие подобные подходы позволили ученым-когнитивистам выявить априорные распределения людей в целом по широкому спектру областей от зрительного восприятия до языка.
