Предположим, что в каждый период после межклановой войны (если она имела место) контролирующий клан может сделать вложения в военную силу после получения выигрыша в данном периоде. Вслед за этим вложением может начаться война против внешней угрозы. Вероятность такой войны зависит от размеров внешней угрозы, θ ∈ [0, x̅ ], и от военной силы контролирующего клана. Соответственно мы можем обозначить ω(ψk, θ) как вероятность войны, когда ψk инвестируется в военную силу, а s(ψk, θ) – как вероятность ex ante, что либо война не произошла, либо произошла и клан победил.
Вероятность ω(ψk, θ) убывает в Ψk и возрастает в θ, тогда как s(ψk, θ) возрастает в ψk и убывает в θ. В пределе, когда θ → 0, s(∙) → 1 и ω(∙) → 1, война против угрозы стоит с. Если войны не происходит или если контролирующий клан побеждает, игра продолжается, как раньше. Поражение подразумевает нулевой выигрыш возобновления.
Рассмотрим средний ожидаемый выигрыш клана k с учетом дисконтирования (далее – средний выигрыш), Vk,c(T, θ)
[253], являющийся функцией ценности от
[254]
в зависимости от ограничения клана на участие, (1 – δ) Σ δt s(∙)t[I(T) – ψk – cω (∙)] ≥ 0, и ограничений клана по бюджету, I(T) – ψk – cω (∙) ≥ 0.
Поскольку ОР предполагает максимизацию непрерывной функции на компактном множестве, решение существует. Я предполагаю, что решение является решением во внутренней области. Предположение, что Vk,c(T, θ) возрастает в Т и убывает в θ, является прямым и интуитивным. Выигрыш контролирующего клана возрастает в валовом доходе, а именно в количестве привилегий Т, и убывает в размахе внешней угрозы θ. Очевидно, что клан предпочтет контролировать город с большим количеством прибыльных привилегий и сталкиваться с меньшими рисками и инвестициями, связанными с поддержанием этого контроля. Предположим, что контролирующий клан сочтет выгодным дать отпор внешней угрозе, т. е. δVk,s (T, θ; ψk) > c. (Следовательно, эндогенная переменная ψk в Vk,s (T, θ; ψk) эксплицитно не обозначена.)
Равновесие при взаимном сдерживании с фиксированным количеством привилегий
Клан удерживается от вступления в конфронтацию со своим противником, если военные инвестиции другого клана таковы, что ожидаемая чистая выгода от конфронтации меньше, чем от отказа от нее. При равновесии со взаимным сдерживанием ни один клан не может извлечь выгоду из сокращения военных инвестиций или от вступления в конфронтацию с другим кланом.
Для рассмотрения необходимых и достаточных условий, при которых может существовать равновесие со взаимным сдерживанием, предположим, что никакой конфронтации никогда не происходило, что не предполагается, что какой-либо из кланов будет в нее вступать, и что клан k ∈ {i, j}вкладывает ψk в каждом периоде.
В этом случае средний выигрыш клана k Vk(λk, T; ψk) равен его чистому доходу за период, а именно λk[I(T) + R(T)] – ψk. Если клан k ожидает получать такой выигрыш от каждого периода, он будет воздерживаться от вступления в конфронтацию, если этот выигрыш выше, чем ожидаемый выигрыш от развязывания межклановой войны.
Формально клан k не будет вступать в конфронтацию тогда и только тогда, когда будет выполняться следующее неравенство:
δVk,d(λk, T; ψk) ≥ δsk,w (ψk, ψ—k)Vk,c(T, θ; ψk) – c(1 – δ),
где δVk,d(λk, T; ψk) – дисконтированная стоимость среднего выигрыша клана при взаимном сдерживании в следующий период, а δsk,w (ψk, ψ—k)Vk,c(T, θ; ψk) – c(1 – δ) – его чистая дисконтированная стоимость, если он станет контролирующим кланом в следующем периоде, с вероятностью того, что он победит в межклановой войне (sk,w(ψk, ψ—k)), минус (средние, с учетом временного дисконтирования) издержки войны.
Нас интересует ситуация, в которой это неравенство действительно для обоих кланов и ни один из них не может извлечь выгоду от сокращения инвестиций в военную силу. Чтобы преобладала такая ситуация, должно быть удовлетворено условие VIII.1.
Условие VIII.1
Существует такое (ψ i,d, ψ j,d), при котором для k ∈ {i, j}:
а) инвестиции осуществимы: ψ k,d ≤ λ k [I(T) + R(T)];
б) они максимизируют выигрыши: ψ k,d ∈ arg max V k,d (λ k, T; ψ k) при условии пункта «в»;
в) достижения сдерживания: ∀ ψ —k ≤ λ —k[I(T) + R(T)], ψ —k ≥ ψ k,d, δV —k,d (λ —k, T; ψ —k,d) ≥ δs —k,w (ψ —k, ψ k,d)V —k,c (T, θ) – (c + (ψ —k – ψ —k,d))(1 – δ). [ICC —k]
