Если условие VIII.1 соблюдается, есть осуществимая инвестиция для каждого клана (пункт «а»), являющаяся самой низкой инвестицией (пункт «б»), которая будет удерживать другой клан от вступления в конфронтацию для любой возможной инвестиции другого клана (пункт «в»). Если совершенное в подыгре равновесие со взаимным сдерживанием (λk, T) существует, условие VIII.1 будет выполняться.
Если оно выполняется, из этого прямо следует, что такое равновесие существует
[255]. В частности, если условие VIII.1 удовлетворяется, следующая комбинация стратегий является равновесием со взаимным сдерживанием (λk, T): если конфронтация никогда не происходила, клан k ∈ {i, j} сотрудничает в пиратстве и инвестирует ψk,d в военную силу. Клан не вступает в конфронтацию, если ψ —k ≥ ψ k,d, а в противном случае – вступает. Ни один из кланов не сотрудничает в пиратстве после конфронтации. Если клан k когда-либо выигрывал в конфронтации, он инвестирует ψk,c в подготовку к тому, чтобы дать отпор внешней угрозе
[256].
Атрибуты эффективности равновесия со взаимным сдерживанием при эндогенном количестве привилегий
Предположим, что доход от привилегий I(T) возрастает, а доход от пиратства R(T) убывает при количестве привилегий Т. В частности, I′(T) ≥ 0 и R′(T) ≤ 0. Предположим, что функция I(T) + R(T) является строго вогнутой и имеет единственный максимум, который представляет собой экономически эффективное количество привилегий τ ∈ (0, T̅), I′(τ) + R′(τ) = 0. Таким образом, экономически эффективным равновесием со взаимным сдерживанием является τ. Оптимальное равновесие со взаимным сдерживанием для клана k максимизирует его средние выигрыши, а именно Vk,d(λk, T; ψk).
Предположим, что доход от привилегий I(T) возрастает, а доход от пиратства R(T) убывает при количестве привилегий Т. В частности, T(T) > 0 и R'(T) < 0. Предположим, что функция I(T) + R(T) является строго вогнутой и имеет единственный максимум, который представляет собой экономически эффективное количество привилегий т е (0, T), I (т) + R' (т) = 0. Таким образом, экономически эффективным равновесием со взаимным сдерживанием является т. Оптимальное равновесие со взаимным сдерживанием для клана k максимизирует его средние выигрыши, а именно Vk4(k, T; yk).
Чтобы установить, был ли мир достигнут в ущерб торговому процветанию, нам нужно определить, является ли действительное равновесие со взаимным сдерживанием еще и оптимальным равновесием со взаимным сдерживанием для каждого конкретного клана. Другими словами, действительно ли сотрудничество в приобретении экономически эффективного количества привилегий (которое максимизирует общий прирост) является лучшим, что может сделать каждый клан?
[257] Если ответ отрицательный, мы можем заключить, что теоретически потребность поддержания в Генуе политического порядка препятствовала экономической эффективности. Затем мы можем использовать модель для выявления источника этой эффективности.
Интересен случай, когда эффективное количество привилегий влечет за собой положительные инвестиции в военную силу. Формально необходимым условием для равновесия со взаимным сдерживанием (Xk, T), характеризующимся положительными инвестициями в военную силу, является следующее: существует такая положительная инвестиция для одного клана, которая делает конфронтацию выгодной для него, если другой клан не делает инвестиций, т. е. для k = i или j, ∃ ψk ≤ λ k [I(T) + R(T)] такое, что δs k,w(ψ k,0)V k,c(T, θ) – (c + ψ k)(1 – δ) > δV k,d(λ k, T; 0). Это условие с большей вероятностью будет выполняться, если значение θ ниже (когда V k,c возрастает в θ), с ниже или δ выше.
Теорема VIII.1 гласит, что когда эффективное равновесие со взаимным сдерживанием характеризуется положительными инвестициями в военный потенциал, оно максимизирует валовый средний выигрыш клана, но не чистый средний выигрыш
[258].
Теорема VIII.1
a) Предположим, что равновесие со взаимным сдерживанием (λk, τ) существует, равновесные инвестиции кланов в военную силу ψ k,* (τ) являются строго положительными (без потери общности), ∂2s(∙/∂ψk2 < 0, и ∂2ω(∙)/(∙)/∂ψk2 > 0 для k = i, j (а именно k = i и k = j). Тогда чистый средний выигрыш каждого клана максимзируется в τ.
