При институте, который зафиксирован в этом анализе равновесия, поведение города обусловливается верой в следующее: нарушение прав приведет к эмбарго, а соблюдение прав после объявления эмбарго не приведет к возобновлению торговли. Ожидание того, что их права будут соблюдаться, мотивирует торговцев вести торговлю; ожидание злоупотреблений мотивирует их прекратить торговать после объявления эмбарго. Поскольку эти убеждения общеизвестны, каждая из сторон воспринимает ожидаемое поведение другой стороны как данность, и каждый торговец и город считают оптимальным действовать в соответствии с ожиданиями другой стороны.
Стратегии равновесия содержат контринтуитивный элемент: город обманывает любого торговца, который берется вести торговлю во время эмбарго. Единодушная вера торговцев в то, что город поведет себя именно так, заставляет их всех соблюдать эмбарго.
Но почему город должен во время эмбарго обманывать торговцев, а не оказывать им гостеприимство? При совершенном равновесии Маркова от города можно ожидать, что он будет обманывать торговцев, нарушивших эмбарго, только если это отвечает интересам самого города во время действия эмбарго. Учитывая специфицированные стратегии, если у торговцев нарушают эмбарго и предлагают свои товары, город ожидает выигрыш (τ − c)f(y) в текущий период и нулевой выигрыш в будущие периоды, если город будет действовать честно. Если же он будет обманывать, то он ожидает τf(y) в текущий период и 0 в будущем. Таким образом, обман является оптимальной стратегией.
Ожидания и поведение, вытекающие из стратегий, описанных в теореме IV.3, образуют равновесие, но выглядят неправдоподобно. Например, равновесие требует, чтобы город, предпринимающий отчаянные попытки возобновить торговые отношения после объявления эмбарго, тем не менее обманывал каждого, кто с ним торгует. Более того, торговцы ожидают такого поведения. По логике равновесия, город ведет себя так из-за ожидания, что в ближайший период эмбарго будет сохранять полную силу, как бы город ни поступал. Таким образом, он считает, что любое предложенное им сотрудничество не принесет плодов.
Это поведение равновесия не очень соответствует историческим фактам и сомнительно даже в качестве теории, поскольку предполагает, что город и потенциальные нарушители эмбарго играют в равновесие с самой низкой ценностью для себя. Исследователи [Farrell, Maskin, 1989; Bernheim, Ray 1989; Pearce, 1987] выступали с подобной критикой равновесия в других моделях повторяющихся игр.
Ни одна из альтернативных концепций, предложенных этими авторами, напрямую неприменима к представленной здесь модели, но все они указывают: разумнее предполагать, что какое-то сотрудничество между городом и торговцами может быть достигнуто даже в случае объявления эмбарго. В качестве примера рассмотрим возможность того, что взаимовыгодные двусторонние соглашения между городом и индивидуальными торговцами могут быть заключены даже во время эмбарго. Из логики этих аргументов очевидно, что любой другой вид сотрудничества привел бы к качественно сходным выводам.
Предположим, что если некоторые торговцы соглашаются вести дела с городом, несмотря на эмбарго, они не могут полагаться на угрозу группового эмбарго, чтобы добиться выполнения своих собственных требований к городу. Что же тогда может принудить город к честному поведению во время эмбарго? Обманутый торговец может, например, угрожать прекращением торговли в будущем. В соответствии с теоремой IV.1 было установлено, что эффективный уровень торговли х* не в состояниии поддерживаться таким равновесием, но оставляет открытой возможность того, что мог поддерживаться какой-то неэффективно низкий уровень торговли. Тогда возникает естественный вопрос: какой самый высокий уровень товарообмена х может поддерживаться таким путем?
Теорема IV.4
Предположим, что ƒ – вогнутая функция. Рассмотрим стратегии, при которых город в каждый период сотрудничает только с теми торговцами, которых он никогда не обманывал, а каждый торговец берется торговать только в том случае, если он никогда не был раньше обманут. Эти стратегии образуют совершенное в подыгре равновесие игры 1, когда объем торговцев х, а налоги составляют т тогда и только тогда, когда для всех у выполняется y ≤ x.
0 ≥ cf(y) − γ(τ − c)yf ’(y). (5)
Достаточным условием будет 0 ≥ cf(x) − γ(τ − c) xf ’(x), а коэффициент эластичности e(x) = dℓnf(x)/dℓn(x) – убывающая функция от х.
Доказательство
Очевидно, стратегии торговцев являются наилучшими реакциями на стратегию города в любой точке в истории игры, поэтому только оптимальность стратегии города требует доказательства. Начиная с количества х присутствующих торговцев, рассмотрим подыгру, получаемую после того, как х – у торговцев покинуло город, когда y ≤ x торговцев осталось. Обманывая часть ∈ от количества у присутствовавших торговцев, город получит выигрыш g(∈; y) = (τ − [1 − ∈]c)f(y) + γf(y[1 − ∈])(τ − c). Необходимым условием оптимальности ∈ = 0 будет ∂g(∈; y)/∂ ∈ ≤0 при∈ = 0. Простой расчет позволяет проверить, что это то же самое, что и условие 5, поэтому последнее условие является необходимым для всех у.
Согласно принципу оптимальности динамического программирования, достаточно показать, что с учетом стратегий остальных нет подыгры, в которой город выиграет больше, установив ∈ > 0 в начальный период, а затем следуя стратегии равновесия. Если f – вогнутая функция, тогда для всех у функция g(∈;y) – вогнутая по ∈, поэтому достаточное условие состоит в том, что для всех у, ∂g(∈;y)/∂ ∈ ≤0 при∈ = 0, а это снова эквивалентно условию 5, доказывая достаточность.
Коэффициент эластичности может быть представлен как e(x) = xf ’(x)/f(x). Условие 5 заключается в том, что e(y) ≥ c/[γ (τ − c)] для всех y ≤ x, это следует из e(x) ≥ c/[γ (τ − c)] и гипотезы о том, что e(·) является убывающей функцией. Что и требовалось доказать.
Пусть х' – самое большее решение для условия 5. Равновесие, описываемое теоремой IV.4, указывает на интересное толкование уровней торговли х', наблюдаемых во время бойкотов. Оно объясняет, почему одни торговцы продолжали торговать, а другие – нет. Согласно этой теории, дополнительные, сверх числа х', торговцы будут обмануты городом и не смогут потребовать возмещения своих убытков. И наоборот: если кто-то думает, что уровень торговли x < х* во время эмбарго определяется фактором, лежащим за пределами этой модели (например, существованием альянсов или других интересов), тогда из условия 5 следует, что минимальная ставка налога, которая может воспрепятствовать обману, ниже, чем самый низкий уровень х. Это подтверждает догадку, что нарушитель эмбарго может договориться о необычайно привлекательной сделке. Тому есть две причины: во-первых, ценность торговли в расчете на одного торговца (f(x)/x) выше, когда х – небольшой; во-вторых, минимальная ставка налога т, необходимая для предотвращения обмана, ниже при небольшом х.
