Рис. 5
Тот факт, что два разных наблюдателя могут измерить разные значения x и t, получив при этом одинаковое значение s, имеет очень важное следствие, которое довольно просто визуализировать. На рис. 5 показана окружность с центром в точке O (событие, соответствующее пробуждению в семь утра), с радиусом s. Поскольку пока мы используем формулу Пифагора для расчета расстояния, каждая точка окружности одинаково удалена от O. Это вполне очевидно: расстояние представляет собой радиус окружности. Точки вне круга находятся дальше от O, а точки внутри круга – ближе к O. Но наша гипотеза гласит, что s – это расстояние в пространстве-времени между событиями O и A. Другими словами, событие A может находиться где угодно на окружности, и при этом его расстояние в пространстве-времени от события O будет равно s. В какой же точке окружности должно располагаться событие A? Это зависит от того, кто измеряет x и t. Мне, находящемуся в доме, точно известно, что x = 10 метров и t = 1 час. На диаграмме эта точка отмечена как A. Для наблюдателя в летящей с огромной скоростью ракете расстояние в пространстве x и расстояние во времени t изменятся, но если s при этом останется неизменным, событие должно по-прежнему находиться где-то на окружности. Так что разные наблюдатели будут указывать разные положения в пространстве и времени для одного и того же события, но при этом станут подчиняться одному ограничению – все они будут находиться на указанной окружности. Обозначим два возможных положения события как A′ и A″. Что касается положения A′, то оно малоинтересно, а вот положение A″ заслуживает внимания. Здесь действительно происходит нечто весьма любопытное. A″ имеет отрицательное расстояние во времени относительно O. Другими словами, A″ происходит до O. Оно теперь находится в прошлом относительно O. Это мир, в котором вы завершаете завтрак до того, как просыпаетесь! Такое обстоятельство – очевидное нарушение принятой нами аксиомы о выполнении принципа причинности.
В качестве отступления заметим, что такие изображения, как на рис. 4 и 5, называются пространственно-временными диаграммами и очень часто помогают нам разобраться в происходящем. В действительности они довольно просты. Крестики на пространственно-временной диаграмме обозначают события. Мы можем опустить из события вертикальную линию до оси, обозначенной как «пространство», чтобы выяснить, как далеко в пространстве отстоит данное событие от события O. Аналогично горизонтальная линия от события до оси, отмеченной как «время», говорит нам о том, сколько времени прошло между данным событием и событием O. Область над осью пространства можно рассматривать как будущее для O (поскольку значение времени положительно для каждого события в этой области), а область ниже этой оси – как прошлое (так как здесь значения времени отрицательны). Проблема, с которой мы столкнулись, заключается в том, что мы построили определение расстояния s в пространстве-времени между событиями O и A, позволяющее событию A находиться как в будущем, так и в прошлом по отношению к событию O в зависимости от того, как именно движется наблюдатель. Другими словами, мы обнаружили, что требование о выполнении принципа причинности непосредственно связано с тем, как мы обозначаем расстояние в пространстве-времени, и простое определение Пифагора со знаком плюс нам не подходит.
Мы столкнулись с тем, что английский биолог Томас Хаксли
[24] описал как «великую трагедию науки – убийство красивой гипотезы уродливым фактом». Однажды Уильям Уилберфорс
[25] спросил Хаксли, которого прозвали Бульдог Дарвина за беззаветную защиту теории эволюции, по какой линии (отцовской или материнской) тот происходит от обезьяны. Хаксли ответил, что не стыдно иметь в предках обезьяну, стыдно быть человеком, использующим свой великий дар, чтобы скрывать истину. В нашем случае трагическая истина заключается в том, что мы должны отказаться от простейших гипотез, если хотим сохранить принцип причинности, и перейти к гипотезам посложнее.
Наша следующая и, по сути, единственная оставшаяся гипотеза звучит так: расстояние между точками в пространстве-времени вычисляется по формуле s² = (ct)² – x². В отличие от версии со знаком плюс это мир, в котором неприменима геометрия Эвклида, как и в случае геометрии на поверхности Земли. У математиков для пространства, в котором расстояние между двумя точками описывается приведенным выше уравнением, есть свое имя: гиперболическое пространство. Физики же называют его пространством-временем Минковского. Читатель может принять это название как намек, что мы находимся на верном пути! Теперь наша главная задача – определить, не нарушается ли в пространстве-времени Минковского требование о выполнении принципа причинности.
Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно еще раз взглянуть на линии в пространстве-времени, точки которых находятся на одинаковом расстоянии s от точки O (то есть мы хотим рассмотреть аналоги окружностей в эвклидовом пространстве-времени). Единственное отличие – знак минус вместо знака плюс. На рис. 6 показаны наши старые знакомые – события O и A, а также линия точек, равноудаленных от точки O. Очень важно то, что эти точки больше не лежат на окружности. Сейчас они расположены на кривой, известной математикам как гипербола. С математической точки зрения все точки на этой кривой удовлетворяют нашему уравнению s² = (ct)² − x². Обратите внимание, что кривая стремится приблизиться к пунктирным прямым линиям, наклоненным под углом 45 градусов к осям. Теперь ситуация в восприятии наблюдателя в космическом корабле совершенно иная, чем в версии со знаком плюс, поскольку событие A всегда находится в будущем по отношению к событию O. Событие A может перемещаться вдоль кривой, но оно никогда не окажется в прошлом по отношению к O. Другими словами, все наблюдатели согласятся, что вы проснулись до того, как позавтракали. Можно вздохнуть с облегчением: принцип причинности в пространстве-времени Минковского не нарушается.
