Отступление для тех, кто разбирается в комплексных величинах: как C(X1, 0) и C(X2, 0), так и P(X1, X, T), P(X2, X, T) могут быть представлены в виде комплексного числа, и они сочетаются в соответствии с математическими правилами умножения комплексных чисел.
Для тех, кто не разбирается в комплексных величинах: это неважно, потому что описание с помощью циферблатов столь же точно. Мы всего лишь представили слегка иной взгляд на правило перевода циферблатов: можно переводить стрелки и уменьшать циферблат с помощью другого циферблата.
Нам ничто не мешает выработать правило умножения циферблатов, которое будет работать: умножить размеры двух циферблатов (1 × 0,2 = 0,2) и совместить время на этих двух циферблатах таким образом, что стрелки первого циферблата будут переведены на время второго: 12 минус 10, то есть 2 часа. Кажется, что мы где-то слегка переусердствовали, и это определенно не то, что нужно, когда мы имеем дело лишь с одной частицей. Но физики ленивы, так что они не стали бы впадать во все эти сложные рассуждения, если бы это не экономило время и усилия в долгосрочной перспективе. Введенная здесь запись оказывается очень полезным способом следить за всеми переводами и уменьшениями циферблатов, когда мы подойдем к более интересному случаю с несколькими частицами – например, при рассмотрении атома водорода.
Независимо от деталей можно сказать, что в нашем методе подсчета вероятностей нахождения одинокой частицы где-то во Вселенной есть всего два ключевых момента. Во-первых, нужно указать набор исходных циферблатов, заключающих в себе информацию о том, где частица может находиться в нулевое время. Во-вторых, нужно знать пропагатор P(A, B, T), который сам выступает в роли циферблата, заключающего в себе правило перевода и уменьшения для частицы, перескакивающей из точки А в точку В. Если мы знаем, как выглядит пропагатор для любой пары исходных и конечных точек, то мы знаем все, что нужно знать, и можем с уверенностью высчитать величественно скучную динамику Вселенной, содержащей одну частицу. Впрочем, к ней нельзя относиться пренебрежительно, потому что такое простое положение дел слабо запутывается, когда в игру вступает взаимодействие частиц. Введем же его.
На рис. 10.1 графически изображены все ключевые идеи, которые мы хотим здесь обсудить. Это наше первое знакомство с диаграммами Фейнмана – средством расчета профессионального специалиста по физике частиц. Наша задача: найти вероятность обнаружения пары электронов в точках Х и Y в некоторое время Т. Сначала нам сообщается, где электроны находятся в нулевое время, то есть как выглядят исходные поля циферблатов. Это важно, потому что способность ответить на подобный вопрос эквивалентна способности узнать, «что происходит во Вселенной, содержащей два электрона». Кажется, в этом нет особого прогресса, но теперь весь мир у нас в кармане, потому что мы можем узнать, как основные строительные кирпичики природы взаимодействуют друг с другом.
Рис. 10.1. Некоторые способы распада пары электронов. Электроны начинают движение слева и всегда заканчивают его в одной и той же паре точек, X и Y, во время T. Эти графики соответствуют нескольким различным способам, которыми частицы могут достичь точек X и Y
Для упрощения мы изобразили лишь одно измерение пространства, и время движется слева направо. Это никак не скажется на наших умозаключениях. Начнем с описания первой серии графиков на рис. 10.1. Мелкие точки в T = 0 соотносятся с возможными местоположениями двух электронов в нулевое время. Для иллюстративных целей предположим, что верхний электрон может находиться в одном из трех мест, в то время как нижний – в одном из двух (в реальном мире нам пришлось бы иметь дело с электронами, которые могут находиться в бесконечном количестве мест, но если бы пришлось это зарисовать, то кончились бы чернила).
Верхний электрон перескакивает в точку A в некоторое более позднее время и одновременно делает очень интересную вещь: он испускает фотон (на рисунке представлен волнистой линией).
После этого фотон перескакивает в точку В, где поглощается другим электроном. Верхний электрон затем перескакивает из точки А в точку Х, а нижний – из точки В в точку Y. Это всего лишь один из бесконечного множества вариантов перехода исходной пары электронов в точки Х и Y. Мы можем связать циферблат со всем процессом – назовем его «циферблат 1», сокращенно С1. QED должна дать нам правила игры, позволяющие вычислить этот циферблат.
Прежде чем углубляться в детали, разберемся, как это должно происходить. На самом верхнем рисунке представлен один из мириадов способов, которыми исходная пара электронов может попасть в точки Х и Y. На других рисунках представлены иные способы. Основная идея в том, что для каждого возможного способа попадания электронов в точки Х и Y мы должны определить квантовый циферблат – уже упомянутый С1 будет лишь первым в длинной череде циферблатов
[45]. Когда все циферблаты определены, нужно сложить их и получить один «главный» циферблат. Размер этого циферблата (возведенный в квадрат) укажет на вероятность нахождения пары электронов в точках Х и Y. Итак, мы снова должны представить, что электроны движутся к точкам Х и Y не по какому-то определенному маршруту, а скорее рассеиваются всеми способами сразу. На последних нескольких рисунках можно увидеть ряд более изощренных способов рассеивания электронов. Электроны не только обмениваются фотонами – они могут испускать и снова поглощать собственные фотоны, а на последних двух рисунках вообще происходит нечто странное. На них показан сценарий, при котором кажется, что фотон испускает электрон, который «ходит по кругу», прежде чем заканчивает свой путь там же, где начал: более подробно об этом мы скажем чуть позже. Сейчас же можно просто представить ряд все более сложных диаграмм, соответствующих случаям, при которых электроны испускают и поглощают большое количество фотонов, прежде чем в итоге завершают путь в точках Х и Y. Придется рассматривать многочисленные пути, которые могут окончиться для электронов в точках Х и Y, но два правила формулируются очень четко: электроны могут только перескакивать с места на место и испускать или поглощать один фотон. Вот и все: электроны могут перескакивать или расширяться. Более подробное рассмотрение показывает, что ни один из приведенных выше рисунков не нарушает двух этих правил, потому что на них не изображено ничего более сложного, чем сочленение двух электронов и фотона. Сейчас мы должны объяснить, как определять соответствующие циферблаты – один для каждой диаграммы на рис. 10.1.
