Метрический тензор позволил Риману построить эффективный аппарат для описания пространств с любым количеством измерений и произвольной кривизной. К своему изумлению, Риман обнаружил, что все эти пространства чётко определены и логически последовательны. Ранее считалось, что при исследовании запретного мира высших измерений непреодолимые противоречия неизбежны. Но, как ни странно, Риман не заметил ни одного. Напротив, переход к N-мерным пространствам оказался почти пустяковым делом. Метрический тензор приобрёл сходство с шахматной доской размером N×N клеток. Это обстоятельство приобретёт глубокий физический смысл в следующих главах, когда мы перейдём к объединению всех сил.
(Как мы убедимся, секрет объединения кроется в расширении метрического тензора Римана до N-мерного пространства с последующим его нарезанием на прямоугольные части. Каждый прямоугольник соответствует одному взаимодействию. В этом случае можно описывать различные силы природы, размещая их в метрическом тензоре, как элементы в головоломке. Таково математическое выражение принципа, согласно которому многомерное пространство объединяет законы природы так, что для их объединения «хватает места» в N-мерном пространстве. Точнее, для объединения сил природы «достаточно места» в метрическом тензоре Римана.)
Риман предсказал ещё одно направление развития физики: он первым заговорил о многосвязных пространствах, или «червоточинах». Для наглядного представления этой концепции возьмите два листа бумаги, положите один на другой. Сделайте ножницами короткий разрез на каждом листе. Потом склейте листы друг с другом вдоль разрезов (рис. 2.4). (Топологически получается то же самое, что и на рис. 1.1, только горловина «червоточины» имеет нулевую длину.)
Жучок, живущий на верхнем листе, может когда-нибудь случайно заползти в разрез и очутиться на нижнем листе. И озадачиться, так как всё вокруг изменится. После многочисленных экспериментов жучок наверняка поймёт, что можно вернуться в привычный мир, если проползти через разрез в обратном направлении. Стоит только сделать это — и мир станет обычным, но любые попытки пройти через разрез в надежде сократить путь чреваты проблемами.
Разрез Римана — пример «червоточины» (с нулевой длиной), соединяющей два пространства. Римановы разрезы с успехом применил математик Льюис Кэрролл в книге «Алиса в Зазеркалье». Зеркало — это и есть риманов разрез, соединяющий Англию и Страну чудес. Сегодня римановы разрезы сохранились в двух видах. Во-первых, о них упоминают в учебных курсах математики всего мира применительно к конформному отображению или теории электростатики. Во-вторых, римановы разрезы фигурируют в сериале «Сумеречная зона» (следует отметить, что сам Риман никогда не рассматривал эти разрезы как средство перемещения между вселенными).
Наследие Римана
Риман упорно продолжал исследования в области физики. В 1858 г. он даже объявил, что наконец сформулировал единое описание для света и электричества. Он писал: «Я полностью убеждён, что моя теория верна и что через несколько лет её признают таковой»
{13}. Несмотря на то что его метрический тензор стал эффективным средством описания любого изогнутого пространства в любом измерении, Риман не знал, каким именно уравнениям подчиняется этот метрический тензор; иначе говоря, он не знал, в результате чего лист стал скомканным.
К сожалению, стараниям Римана решить эту задачу неуклонно препятствовала мучительная бедность. Его успехи не приносили денег. В 1857 г. Риман перенёс ещё один нервный срыв. По прошествии многих лет его наконец назначили в Гёттингене на завидный пост, который ранее занимал Гаусс, но было уже слишком поздно. Жизнь в нужде подорвала здоровье Римана, и, подобно многим выдающимся математикам в истории человечества, он преждевременно скончался от истощения в возрасте 39 лет, не успев закончить свою геометрическую теорию гравитации, электричества и магнетизма.
Итак, Риман не просто заложил основы математики гиперпространства. Оглядываясь назад, мы видим, что Риман предвидел некоторые важные проблемы современной физики, а именно:
1. Он воспользовался многомерным пространством, чтобы упростить законы природы; т. е. для него электричество, магнетизм и гравитация были просто следствиями, вызванными деформацией, или искривлением гиперпространства.
2. Он предвидел появление концепции «червоточин». Римановы разрезы — простейшие примеры многосвязных пространств.
3. Он отображал гравитацию как поле. Поскольку метрический тензор описывает силу гравитации (посредством кривизны) в каждой точке пространства, то применительно к гравитации он представляет собой именно концепцию фарадеева поля.
Риман не сумел завершить свой труд, посвящённый силовым полям, по той причине, что ему недоставало уравнений поля, которым подчиняются электричество, магнетизм и гравитация. Иными словами, он не знал, как именно должна быть скомкана Вселенная, чтобы создать силу гравитации. Он пытался сформулировать уравнения поля для электричества и магнетизма, но умер раньше, чем справился с этой задачей. К моменту смерти он так и не узнал способа вычислить степень искривления, необходимую для описания этих взаимодействий. Решающие открытия в этой сфере остались Максвеллу и Эйнштейну.
Жизнь в пространственной складке
Чары наконец рассеялись.
За свою короткую жизнь Риман успел снять заклятие, наложенное Евклидом за две тысячи лет до того. Метрический тензор Римана стал оружием, с помощью которого молодые математики могли бросить вызов «беотийцам», улюлюкающим при любом упоминании о многомерности. Тем, кто последовал по стопам Римана, стало легче высказываться о незримых мирах.
Вскоре начались исследования по всей Европе. Видные учёные взялись за популяризацию идеи для широкой публики. Герман фон Гельмгольц, вероятно, самый знаменитый немецкий физик того поколения, поражённый трудами Римана, много и подробно писал, обращаясь к широкой аудитории и рассказывая о математике разумных существ, живущих на шаре или сфере.
Согласно Гельмгольцу, эти существа, наделённые мышлением под стать нашему, независимо от нас обнаруживают, что все евклидовы постулаты и теоремы бесполезны. К примеру, на сфере сумма углов треугольника не составляет 180º. «Книжные черви», о которых первым заговорил Гаусс, теперь населяли двумерные сферы Гельмгольца. Гельмгольц писал, что «аксиомы геометрии должны меняться в зависимости от характера пространства, населённого существами, мыслительные способности которых соответствуют нашим»
{14}. Но в своих «Популярных лекциях о научных предметах» (1881 г.) Гельмгольц предупреждает читателей, что визуализировать четвёртое измерение мы не можем. Он пишет, что «подобное представление так же невозможно, как невозможно рождённому слепым представить себе, что такое разные цвета»
{15}.
