Поначалу казалось, что это невозможно. Ведь симметрии, о которых идёт речь, — результат взаимообмена точечных частиц друг с другом. Если N кварков мультиплета перетасовать, получится симметрия SU (N). Она выглядит исключительно симметрией «дерева», а не «мрамора». Какое отношение SU (N) имеет к геометрии?
Превращение «дерева» в «мрамор»
Первая зацепка появилась в 1960-х гг., когда физики с радостью обнаружили, что есть и другой способ ввести симметрию в физику. Экстраполируя давнюю пятимерную теорию Калуцы — Клейна для N измерений, учёные поняли, что можно свободно совместить симметрию с гиперпространством. При свёртывании пятого измерения они увидели, что из риманова метрического тензора внезапно возникает поле Максвелла. А свернув N измерений, физики обнаружили знаменитое поле Янга — Миллса — ключ к Стандартной модели!
Для того чтобы понять, как симметрия возникает из пространства, представим себе обычный пляжный мяч. Он симметричен: мы можем вращать мяч относительно его центра, и форма мяча не изменится. Симметрия пляжного мяча, или сферы, называется О (3), или вращение в трёх измерениях. Так и в высших измерениях гиперсферу можно вращать вокруг её центра, чтобы она сохраняла прежнюю форму. Гиперсфера обладает симметрией О (N).
А теперь представим себе вибрацию пляжного мяча. На его поверхности образуются мелкие волны. Если воздействовать на мяч определённым образом, можно вызвать упорядоченные вибрации, которые называются резонансными. Эти резонансные колебания, в отличие от обычных мелких волн, имеют строго определённые частоты. Если вызвать у пляжного мяча достаточно быструю вибрацию, можно получить музыкальный тон определённой частоты. В свою очередь, эти вибрации можно описать симметрией О (3).
Общеизвестно, что мембрана, как и пляжный мяч, способна индуцировать резонансные частоты. Например, голосовые связки у нас в горле — это растянутые мембраны, которые вибрируют с определённой частотой, или резонансом, и поэтому могут производить звуки той или иной высоты. Ещё один пример — наши органы слуха. Звуковые волны разных видов сталкиваются с нашей барабанной перепонкой, которая при этом резонирует с определённой частотой. Эти колебания затем преобразуются в электрические сигналы, поступающие в мозг, который интерпретирует их как звуки. По тому же принципу работает телефон. Металлическую диафрагму, которая есть в любом телефоне, приводят в движение электрические сигналы в телефонном проводе. При этом создаются механические вибрации и резонансные колебания в диафрагме, которая, в свою очередь, создаёт звуковые волны, которые мы слышим в трубке. По тому же принципу работают стереодинамики и оркестровые барабаны.
Таков эффект и для гиперпространства. Подобно мембране, оно может резонировать с различными частотами, которые, в свою очередь, могут определяться симметрией гиперпространства О (N). Вдобавок математики придумали в высших измерениях немало поверхностей сложной формы, описываемых комплексными числами. (В комплексные числа входит квадратный корень из −1, √−1.) Отсюда ясно, как доказать, что симметрия, соответствующая сложной «гиперсфере», — это SU (N).
Ключевая мысль такова: если волновая функция частицы колеблется вдоль этой поверхности, то ей передаётся симметрия SU (N). Таким образом, таинственную симметрию SU (N) из физики субатомных частиц теперь можно увидеть как побочный эффект вибрации гиперпространства! Иными словами, у нас появилось объяснение истоков загадочной симметрии «дерева»: на самом деле это скрытая симметрия, исходящая из «мрамора».
Если теперь мы возьмём теорию Калуцы — Клейна, определённую для 4 + N измерений, и свернём N измерений, то обнаружим, что уравнения разделяются на две части. Первая — это обычные уравнения Эйнштейна, которые мы восстанавливаем так, как и следовало ожидать. Но вторая часть уже не будет теорией Максвелла. Оказывается, всё остальное — не что иное, как теория Янга — Миллса, образующая фундамент всей физики элементарных частиц! Это и есть ключ к превращению симметрии «дерева» в симметрию «мрамора».
Поначалу казалось почти мистикой то, что симметрия «дерева», которую искали в муках, методом проб и ошибок, скрупулёзно изучая мусор из ускорителей частиц, почти автоматически возникает благодаря высшим измерениям. Удивительно, что симметрия, обнаруженная путём перетасовывания кварков и лептонов, появляется из гиперпространства. Понять это явление нам поможет аналогия. Материю можно сравнить с глиной, которая выглядит как бесформенный ком. Глине недостаёт элегантной симметрии, присущей геометрическим фигурам. Однако глиной можно заполнить симметричную литьевую форму. Если повернуть такую форму под неким углом, она останется симметричной. В этом случае глине передастся симметрия литьевой формы. Подобно материи, глина обретёт симметрию, поскольку симметрией обладала литьевая форма — как и пространство-время.
Если эти рассуждения верны, тогда они означают, что странную симметрию кварков и лептонов, десятилетиями обнаруживаемых главным образом случайно, теперь можно расценивать как побочный эффект колебаний в гиперпространстве. К примеру, если незримые измерения обладают симметрией SU (5), значит, теории Великого объединения SU (5) можно записать как теорию Калуцы — Клейна.
То же самое можно увидеть благодаря риманову метрическому тензору. Как мы помним, он напоминает поле Фарадея, но содержит гораздо больше компонентов. Его можно представить как квадраты на шахматной доске. Отделяя пятый вертикальный и горизонтальный ряды на шахматной доске, мы разграничим поле Максвелла и поле Эйнштейна. А теперь проделаем то же самое с теорией Калуцы — Клейна в (4 + N) — мерном пространстве. Если отделить N вертикальных и горизонтальных рядов от первых четырёх рядов по вертикали и по горизонтали, тогда мы получим метрический тензор, описывающий и теорию Эйнштейна, и теорию Янга — Миллса. На рис. 6.2 мы вырезали метрический тензор (4 + N) — мерной теории Калуцы — Клейна, отделив поле Эйнштейна от поля Янга — Миллса.
По-видимому, одним из первых это упрощение выполнил физик из Техасского университета Брайс Девитт, посвятивший изучению квантовой гравитации много лет. Как только фокус с разложением метрического тензора был открыт, расчёты, необходимые для выделения поля Янга — Миллса, стали очевидными. Девитт считал выделение поля Янга — Миллса из N-мерной теории гравитации настолько простой математической задачей, что давал её в качестве домашнего задания в летней школе физики в Лез-Уш, во Франции, в 1963 г. [Не так давно Питер Фройнд обнаружил, что Оскар Клейн открыл поле Янга — Миллса ещё в 1938 г., на несколько десятилетий опередив Янга, Миллса и остальных. На проходившей в Варшаве конференции «Новые физические теории» Клейн объявил, что нашёл способ обобщить работу Максвелла с учётом симметрии высшего порядка О (3). Увы, из-за хаоса, вызванного Второй мировой войной, а также из-за всеобщего увлечения квантовой теорией, немаловажная теория Калуцы — Клейна оказалась забытой. Парадокс заключается в том, что теорию Калуцы — Клейна затмила квантовая теория, в основе которой в настоящее время лежит поле Янга — Миллса, впервые обнаруженное при анализе теории Калуцы — Клейна. В пылу энтузиазма по поводу квантовой теории физики не заметили главного открытия, которым мы обязаны теории Калуцы — Клейна.]
