Появление различных технологий звукозаписи и компьютерной музыки в ХХ веке упростило точные математические измерения и способствовало появлению музыки, основанной на числах. Например, австрийский композитор Альбан Берг (1885–1935) выстроил свой «Камерный концерт» целиком и полностью на числе три: там есть и объединение по тридцать тактов, и три темы, и три основные «краски» – фортепиано, скрипка, духовые. Французский композитор Оливье Мессиан (1908–1992), движимый в основном страстной католической верой и любовью к природе, также сознательно применял числа в ритмических конструкциях, например, при определении количества движений. Однако когда в 1978 году его прямо спросили, применял ли он при этом золотое сечение, он ответил, что нет.
Композитор, математик и преподаватель Иосиф Шиллингер (1895–1943) был весьма незаурядным человеком, его личность и мировоззрение служили ярким примером платоновского представления о связи математики с музыкой. Шиллингер учился в Петроградской консерватории, преподавал и сочинял музыку в Харькове и в Ленинграде, а в 1928 году эмигрировал в США и стал там профессором математики и композиции в самых разных учебных заведениях, в том числе и в Колумбийском и в Нью-Йоркском университетах. В числе учеников Шиллингера были знаменитый композитор и пианист Джордж Гершвин, джазовый кларнетист Бенни Гудмен и руководитель свингового оркестра Гленн Миллер. Шиллингер был убежденным приверженцем музыки на математической основе и разработал систему музыкальной композиции, носящую его имя. В частности, в некоторых пьесах последовательность нот в мелодии соответствовала числам Фибоначчи – если считать интервалы по полутонам (рис. 90). По мнению Шиллингера, эти «скачки Фибоначчи» вызывали у слушателя то же ощущение гармонии, что и филлотактическое расположение листьев на стебле – у ботаника. В своей книге «Иосиф Шиллингер. Воспоминания» (Frances Schillinger. Joseph Schillinger: A Memoir) вдова Шиллингера Фрэнсис рассказывает, как однажды композитор в компании друзей ехал в машине в ливень и заметил: «И шум дождя, и дворники, смахивающие воду с лобового стекла, обладают собственным ритмическим рисунком. Это и есть бессознательное искусство». Шиллингер постоянно пытался доказать, что можно основывать музыкальную композицию исключительно на математических формулах, и одна такая попытка привела к интересному результату: Шиллингер скопировал график колебаний фондового рынка из газеты «Нью-Йорк Таймс», переложил его взлеты и падения в пропорциональные музыкальные интервалы и показал, что таким образом получается мелодия, несколько напоминающая сочинения великого Баха.
Вывод из этого краткого экскурса в мир музыки таков: мнение о том, что некоторые композиторы применяли в своих сочинениях золотое сечение, как правило, предполагает чересчур поспешный переход от чисел, получаемых простым подсчетом (количество нот, тактов и пр.) к интерпретации. Тем не менее нет никаких сомнений, что именно в ХХ веке интерес к численной стороне музыки вспыхнул с новой силой. Это возрождение пифагорейского учения, в частности, привело к тому, что и золотое сечение сыграло достаточно важную роль в сочинениях некоторых композиторов.
Рис. 90
Весьма красноречиво выразил отношения между музыкой и математикой в своей книге «Прекрасное в музыке» (Eduard Hanslick. The Beautiful in Music) венский музыкальный критик Эдуард Ганслик (1825–1904):
«Музыка» природы и музыка как творение человека принадлежат к двум разным категориям. Переход из первой во вторую происходит средствами математической науки. Это очень важный довод, из которого многое следует. Однако мы бы заблуждались, если бы сделали вывод, будто человек строит свою музыкальную систему согласно осознанным вычислениям, ведь хотя эта система возникла благодаря бессознательному применению заложенных в человеке представлений о количестве и соразмерности посредством тонких процессов расчета и измерения, однако законы, управляющие этими процессами, наука описывает лишь задним числом.
Так задумал Пифагор
Этими словами знаменитый ирландский поэт Уильям Батлер Йейтс открывает свое стихотворение «Статуи». Йейтс, который когда-то сказал, что «самая сущность гения любого рода – это точность», исследует в этом стихотворении отношения между числами и страстью. Вот первая строфа стихотворения:
Пифагор рассчитал все. Откуда ж людей удивленье?
Его числа изваяны в камне и в бронзе отлиты.
Им, однако, как будто живым, недоступны любовь и томленье.
Одинокая юность, почуяв любовную силу,
Знает страсть, что способна разбить или слить монолиты.
И к губам, для которых холодный расчет был мерилом,
Прижимает живые горячие губы полночной порой,
Там, где взгляд площадей и людей наблюдательных строй.
Йейтс прекрасно выразил то обстоятельство, что тщательно рассчитанные пропорции греческих скульптур могут показаться холодными, однако юные и страстные души все равно считали эти условные формы воплощением предмета своей любви.
На первый взгляд, нет предмета более далекого от математики, чем поэзия. Нам представляется, что стихи произрастают из чистого воображения поэта, и их цветению нет закона, как нет закона красоте алой розы. Только не надо забывать, что расположение лепестков этой самой розы подчиняется точнейшему порядку, основанному на золотом сечении. Так нельзя ли строить стихи на той же основе?
В принципе, есть два способа связать поэтический язык с золотым сечением и числами Фибоначчи. Во-первых, можно просто посвящать стихи золотому сечению и числам Фибоначчи (вспомним стихотворение Пола Брукмана «Постоянное Среднее», упоминавшийся в главе 4), или геометрическим фигурам и феноменам, которые тесно связаны с числом φ. Во-вторых, можно так или иначе применять золотое сечение или числа Фибоначчи в стихотворной форме и ритме.
Примеры первого типа – это, в частности, юмористические стихи Дж. А. Линдона, великий «Фауст» Иоганна Вольфганга Гёте и стихотворение «Раковина наутилуса» Оливера Уэнделла Холмса. Стихотворением Линдона Мартин Гарднер открыл главу о числах Фибоначчи в своей книге «Математический цирк». В нем говорится о рекурсивных отношениях, характерных для последовательности Фибоначчи:
Пять было жен у Фибоначчи,
Чем далее, тем формами богаче:
Вес каждой – как у двух, что были до;
Да, пятая влезала в дом с трудом!
(Пер. М. Антипина)
О Фибоначчи говорится и в двустишии Кэтрин О’Брайен:
Фибоначчи ни сна, ни покоя не знает —
Не овец, а крольчат до рассвета считает.
Немецкий поэт и драматург Гёте (1743–1832) – безусловно, один из величайших писателей в мировой литературе. Вершина его многогранного гения – «Фауст», грандиозная метафора человеческого стремления к могуществу и познанию. Ученый Фауст продает душу дьяволу, воплотившемуся в Мефистофеле, в обмен на знания, молодость и магические способности. Когда Мефистофель обнаруживает, что под порогом у Фауста начертана пентаграмма, он не может выйти. Магические свойства, приписываемые пентаграмме еще с пифагорейских времен (они и привели к определению золотого сечения), в христианскую эпоху приобрели особую значимость, поскольку пять лучей пятиконечной звезды, как считалось, символизируют имя «Иисус». Именно поэтому полагали, что дьявол боится пентаграммы. Вот как это описано в поэме:
