А’ и В’ считают, что находятся в состоянии покоя. А’ засекает на своем хронометре время выстрела мяча (t’1) (рисунок 11). Когда мяч ударяется о стену, В’ отмечает момент времени на своем секундомере (t'2) (рисунок 12).
Зная скорость v и время t' и t'1 в системе отсчета D можно сделать вывод о расстоянии, пройденном мячом, умножив скорость на период времени. В этом случае:
L'=v•(t'2 -t'1).
Версия наблюдателей на причале
Нам снова понадобится целый ряд наблюдателей, стоящих вдоль причала, – каждый с хронометром. Пусть А – наблюдатель, который находится напротив метательной машины в момент выстрела. Он отметит на своем хронометре момент вылета мяча из машины (t1) (рисунок 13). В – тот, кто будет находиться напротив мяча, когда тот ударится о стену. В момент удара он отметит время t2 (рисунок 14).
РИС. 13
РИС. 14
Наблюдатели считают, что скорость мяча внутри метательной машины уже равна скорости движения корабля и. После выстрела правая стена смещается, отдаляясь от мяча со скоростью u потому мяч должен пройти большую дистанцию. Поэтому несмотря на то, что наблюдатели системы G отметят то же время, что и наблюдатели системы D пройденное расстояние и скорость мяча для них будут разными:
L+u•(t2-t1) где u•(t2-t1) расстояние, на которое отодвигается правая стена в то время, пока мяч находится в воздухе.
Если мы отвлечемся от существования корабля и будем заниматься только мячом, то увидим, что со скоростью v + u он за период времени t2 – t1 пролетит расстояние
(v + u)•(t2- t1).
Обе величины должны быть равны между собой:
L + u • (t2 – t1) = (v + u) • (t2 – t1).
Получим знакомое уравнение для вычисления длины трюма:
L = v•(t2- t1).
Можно сделать вывод о том, что с точки зрения наблюдателей на причале мяч должен пройти большее расстояние, поскольку стена от него отдаляется, но при этом он летит с большей скоростью, так как к его скорости прибавляется скорость корабля, поэтому оба эффекта компенсируют друг друга.
Электромагнитный эксперимент
Заменим метательную машину фонарем, а мяч – лучом света (и опять мы имеем дело с электромагнитным излучением).
Единственный элемент, общий для систем G и D – величина скорости света. Все хронометры, участвующие в эксперименте, произведены на одной фабрике, но только два из них в одной и той же системе отсчета показывают одно и то же время. Для того чтобы перевести пространственные или временные координаты из одной системы в другую, необходимо прибегнуть к преобразованиям Лоренца.
Версия наблюдателей находящихся в трюме корабля
Как и в механическом эксперименте, А’ отмечает тот момент, когда световой луч выходит из фонаря, а В’ – момент, когда луч достигает противоположной стены (рисунок 15). Для них:
L’ = c-(t'2 -t'1).
Версия наблюдателей на причале
С причала наблюдатели видят, как отдаляется правая стена, световой луч при этом по-прежнему движется со скоростью с (рисунок 16). Они замечают, что прежде чем достичь стены, луч преодолел не только длину трюма, но и дистанцию, пройденную кораблем в период времени между t1 и t2 (рисунок 17):
L +u-(t2 -t1).
С другой стороны, если оставить корабль в стороне, за временной интервал (t2 – t1) свет проходит расстояние:
c•(t2 -t1)=x2 -x1
Приравняв выражения друг к другу:
L + u • (t2- t1) = с • (t2- t1)=х2- х1
и применив формулу преобразований Лоренца, мы получаем поразительный результат:
Поскольку скорость корабля меньше скорости света (u < с), то фактор бета меньше t, а значение L меньше, чем L'. То есть для наблюдателей в системе G трюм корабля в длину меньше, чем для наблюдателей в системе D. Это и есть так называемое Лоренцево сжатие.
РИС. 15
РИС. 16
РИС. 17
Математическое выражение сжатия Лоренца
Ниже мы показываем, как преобразования Лоренца применяются в расчете сжатия. У нас есть два математических выражения того расстояния, которое проходит свет:
L + u•(t2 -t1),
с•(t2- t1)=x2 -х1.
Приравняем их:
L + u•(t2 -t1 ) = c•(t2 -t1 )=x2- x1 L=x2 -x1 -u-(t2 -t1 ).
Уравнение можно упростить, если немного изменить обозначения:
Тогда выражение, найденное для L, сокращается до:
Поскольку теперь мы допускаем, что часы могут идти по-разному в зависимости от системы, для перевода координат системы G в систему D нам будет нужно использовать преобразования Лоренца:
