Если представить себе муху, перемещающуюся по прямой линии, то логично вообразить ее передвижение с помощью моментальных снимков через определенные интервалы времени. Можно представить насекомое в виде точки, которая скользит по диагонали на двумерной плоскости, где t и х- подобные переменные.
Движение тел в пространстве с течением времени представляет собой перемещение по четырехмерной гиперповерхности, на которой каждому событию соответствуют три координаты трехмерного евклидова пространства и четвертая – координата времени. После этого концептуального скачка параллели между свободным падением и невесомостью и между кривой поверхностью и касательной к ней плоскостью перестали быть простыми аналогиями. Геодезические линии и инварианты метрической функции немедленно приобрели физический смысл.
Для математика геодезическая линия статична, это просто линия на бумаге. Однако среди четырех измерений пространства Минковского присутствует время: геодезические линии приобретают динамику, превращаясь в траектории. Временная координата выражает не просто точку в событии, а изменение координат в системе отсчета.
Но возможен и обратный взгляд – на физику со стороны геометрии. Посмотрим на двумерное изображение Луны на ее орбите (рисунок 13).
Если мы сейчас задумаемся, как изобразить положение Луны в зависимости от времени, то интуиция нам подскажет: надо представить, как спутник описывает обороты вокруг нашей планеты. И воспринимая время как одну из пространственных характеристик, мы получим трехмерное геометрическое изображение движения Луны (рисунок 14).
Минковский ввел новое понятие – собственное время, обозначив его греческой буквой тау. Эта величина соответствует расстоянию не между двумя положениями тела, а между двумя событиями. Каждая совокупность координат включает в себя три пространственных значения и одно временное, определяя, где и когда произошло событие.
РИС. 13
РИС. 14
Два плоских изображения системы, состоящей из Земли и Луны, где пространство описывается только в двух измерениях.
На втором изображении (рисунок 14) добавляется время.
Перемещаясь из одной точки в другую, мы оставляем четырехмерный след – мировую линию. Нашу жизнь можно рассматривать как траекторию в пространстве Минковского, как последовательность мест и событий, связанных между собой. Мемуары физика Георгия Гамова так и называются – «Моя мировая линия: неформальная автобиография».
В предыдущей главе мы обнаружили, насколько пластично наше восприятие. Стоит только войти в зеркальный лабиринт относительности, перескакивая от одной системы отсчета к другой, как время и расстояние начинают вести себя, словно в декорациях сюрреалистического фильма, – они деформируются, растягиваются и сплющиваются. Движущиеся предметы сжимаются и замедляют ход своих часов. Однако собственное время продолжает быть расстоянием, то есть геометрическим свойством со всеми вытекающими последствиями. Таким образом, собственное время – это инвариант, предлагающий во всех системах отсчета, для любого наблюдателя одну и ту же информацию.
Метрическая функция Минковского
Если в евклидовом пространстве квадрат расстояния между двумя ближайшими точками (ds) определяется как ds² = dx² + dy² + dz² , то в пространстве Минковского аналогичный ему квадрат интервала равен ds² = dx² + dy² + dz² – c² dt² .
В результате умножения скорости света с (в международной системе она измеряется в м/с) на t (в секундах) четвертая переменная обретает ту же размерность, что и три пространственные переменные. Величина ds² инвариантна. Измерив ее в двух разных системах координат (х, у, z, t) и (х', у', z', t’), мы получим один и тот же результат:
ds² =dх² + dу² +dz² -c² dt²
=> c/s² =c/s'²
ds'² = dx'² +dy'² + dz'² – c² dt'²
Стремясь соединить две системы координат так, чтобы выполнялось равенство ds² = ds'² , мы приходим к уравнениям Лоренца. Извлечем метрическую функцию из формулы ds² :
В этом случае составляющие g с постоянными значениями образуют плоскость без каких-либо искривлений и неровностей. Ее геодезические линии прямые, но из- за изменения знака временной координаты они соответствуют не кратчайшей дистанции между двумя точками пространства-времени, а наиболее длинной.
Чтобы рассмотреть это подробнее, используем трехмерную параболу. Поставим стержень вертикально около стены и осветим его двумя прожекторами, сверху и сбоку. Тень, отбрасываемая благодаря вертикальному прожектору, будет иметь вид точки на полу, а с помощью бокового прожектора на стену упадет тень от всего стержня (рисунок 15).
Если теперь мы начнем наклонять стержень (в плоскости, определяемой двумя источниками света), то тень на полу будет расти, в то время как тень на стене – уменьшаться (рисунок 16).
РИС. 15
РИС. 16
РИС. 17
Переведя стержень в горизонтальное положение, мы увидим ситуацию, обратную начальной: тень на стене имеет вид точки, в то время как тень на полу равна всей длине стержня (рисунок 17).
