Глава 6.
МОМЕНТ
Импульс
Давайте снова рассмотрим падающее тело. Объект, удерживаемый в некоторой точке над землей, находится в состоянии покоя. Если мы отпустим его, то он сразу начнет падать. Очевидно, что мы создали движение там, где его изначально не существовало. Но «создали» — слово, которое физики переваривают с трудом (для этого существуют философы). Разве что-нибудь действительно может быть создано из ничего? Или одна вещь просто превращается в другую, так что вторая появляется только за счет перехода первой в состояние небытия? Или, возможно, один объект подвергается изменениям (например, переходит из состояния покоя в стадию движения, например) потому и только потому, что другой объект подвергается противодействующим изменениям (например, из состояния покоя — в стадию движения, но в противоположном направлении). В этом последнем случае то, что создано, не является движением, а является движением плюс «антидвижение», и если сложить их вместе, то мы получим нуль, а следовательно, возможно, что никакого движения не было создано вообще.
Чтобы разрешить эти вопросы, давайте сначала попробуем точно решить, что же мы подразумеваем под понятием «движение».
Мы можем начать с того, скажем, что сила, конечно, создает движение. Приложенная к любому телу, первоначально находившемуся в состоянии покоя, например к хоккейной шайбе на льду, сила порождает ускорение и заставляет шайбу перемещаться все быстрее и быстрее! Чем дольше действует сила, тем быстрее двигается хоккейная шайба. Если сила постоянна, то скорость в любой данный момент времени пропорциональна величине силы, умноженной на время, в течение которого она действует. К этому произведению силы (f) на время (t) применяют термин «импульс» (I):
I = ft. (Уравнение 6.1)
Так как сила производит движение, мы могли бы ожидать, что данный импульс (то есть данная сила, действующая в течение данного времени) будет всегда производить одно и то же количество движения. Однако если это так, то количество движения не может зависеть только от одной скорости. Если та же самая сила будет действовать на вторую хоккейную шайбу, массой в десять раз больше первой, она создаст меньшее ускорение и за данное время создаст меньшую скорость, чем в первом случае. Поэтому количество движения, произведенного импульсом, должно также учитывать не только скорость, но и массу.
Это и есть то, что фактически подразумевается уравнением 6.1. В соответствии со вторым законом Ньютона мы знаем, что сила равна массе, умноженной на ускорение (f = ma). Мы поэтому можем заменить ma на f в уравнении 6.1 и написать:
f = mat. (Уравнение 6.2)
Но из уравнения 2.1 мы знаем, что для любого тела, начинающего движение из состояния покоя, скорость (v), произведенная силой, равна ускорению a, умноженному на время (t), то есть at = v. Если мы заменим v на at в уравнении 6.2, то получим:
I = mv. (Уравнение 6.3)
Именно эта величина, mv — масса, умноженная на время, и является действительной мерой движения тела. Тело, перемещающееся быстро, требует и большего усилия для своей остановки, чем то же самое тело, перемещающееся медленно. Увеличение в скорости поэтому увеличивает количество его движения. С другой стороны, массивное тело, перемещающееся с некоторой скоростью, требует и большего усилия для своей остановки, чем это требует легкое тело, перемещающееся с той же самой скоростью. Увеличение в массе также увеличивает количество его движения. Следовательно, произведение mv призвано, чтобы назваться «количеством движения» (momentum) (от латинского слова, означающего «движение»).
Физический смысл уравнения 6.3 заключается в том, что импульс (ft), приложенный к телу, находящемуся в состоянии покоя, заставляет это тело получить количество движения (mv), равное импульсу. В более общем виде: если тело уже находится в движении, то приложение импульса вызовет изменение количества движения, равное импульсу. Говоря более коротко, импульс (силы) равен изменению количества движения.
Единицами измерения импульса должны быть, с одной стороны, единицы измерения силы, умноженной на время, согласно уравнению 6.1, или массы, умноженной на скорость, согласно уравнению 6.3. В системе МКС единицы измерения силы — ньютоны, так что импульс может быть измерен в ньютон-с. С другой стороны, единицы измерения массы — килограммы, а единицы измерения скорости — метры в секунду, так что единицы измерения импульса (масса, умноженная на скорость) равны кг-м/с. Однако ньютоны были определены как кг-м/с2. Таким образом, ньютон-с равны кг-м-с/с2, или кг-м/с. То есть единицы измерения I через ft получились теми же самыми, что и единицы измерения I, полученные через mv. В системе СГС, как легко можно показать, единицы измерения импульса — дины∙с или г∙см/с, и они также совпадают с обеих сторон.
Закон сохранения (импульса) количества движения
Представьте себе хоккейную шайбу массой m, двигающуюся по льду со скоростью v. Ее количество движения равно mv. Теперь представьте себе другую хоккейную шайбу той же самой массы, перемещающуюся с той же самой скоростью, но в противоположном направлении. Ее скорость поэтому –v. и ее количество движения равно –mv. Количество движения, как вы видите, является векторной величиной, так как оно зависит от скорости и имеет не только количественную характеристику, величину, но и направление. Естественно, что, если мы имеем два тела с импульсами в противоположных направлениях, мы можем сказать, что одно количество движения равняется некоторому положительному значению, а другое — некоторому отрицательному значению.
Предположим теперь, две хоккейные шайбы покрыты по кругу слоем клея, достаточно сильного, чтобы заставить их немедленно сцепиться вместе при вступлении в контакт друг с другом. И предположим, что они вступают в контакт «лоб в лоб». Если это произойдет, они мгновенно остановятся.
Будет ли уничтожено количество их движения? Нисколько. Полное количество движения системы
[23] было равно mv + (-mv), или 0, перед столкновением, и 0 + o, или (все еще) 0, после столкновения. Распределение количества движения среди частей системы до столкновения было иным, чем после столкновения, но полное количество движения осталось неизменным.
Предположим теперь, что вместо того, чтобы прилипнуть, когда эти две шайбы столкнулись (неупругое столкновение), они отпрыгнули бы друг от друга с абсолютной упругостью (упругое столкновение). Если бы это произошло, то каждая из шайб полностью изменила направление своего движения. Та, чье количество движения было равно (mv), теперь имела бы количество движения, равное (−mv), и наоборот. Вместо суммы mv + (–mv) мы получили бы сумму (–mv) + mv. Снова произошло бы изменение в распределении количества движения, но снова — полное количество движения системы будет неизменно.
