v = √(3PV/Nm. (Уравнение 14.3)
Это уравнение легко можно решить в цифровых значениях. Если мы имеем дело с неким данным количеством, например кислорода, то его давление (P) и объем (V) легко можно измерить. Величина Nm представляет собой число частиц, умноженных на массу одной частицы, что, в конце концов, представляет собой полную массу газа, и может быть легко измерена. Если не вникать и опустить все детали вычисления, то можно сказать, что, оказывается, при 0 °С (273 °К) и давлении в одну атмосферу
[68] средняя скорость молекулы кислорода составляет 460 метров в секунду (0,28 миль в секунду).
Уравнение 14.3 может быть написано в виде: v = √(3Nm)√(PV). Поскольку для данного удельного количества Nm полная масса является величиной постоянной, то и величина √(3Nm) — тоже постоянна, а это значит, что и уравнение 14.3 можно записать в виде: v = k√(PV), то есть мы можем сказать, что скорость молекулы газа прямо пропорциональна квадратному корню из произведения объема на давление. Однако из уравнения 13.12 мы знаем, что произведение PV — прямо пропорционально абсолютной температуре T. Поэтому мы можем сказать, что v = k√T, то есть что средняя скорость молекулы газа прямо пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры.
Если молекула кислорода имеет среднюю скорость 460 м/с при температуре 273 °К (0 °С), то что будет, если мы удвоим температуру до 546 °К (273 °С)? Тогда средняя скорость умножится на √2, или приблизительно в 1,4 раза. При этой, более высокой температуре молекулы кислорода будут двигаться со средней скоростью 650 с (0,40 мили в секунду).
Но представьте себе, что мы рассматриваем различные газы при одном и том же давлении P и объеме V. При этих условиях оказывается (соответствующие опыты и их объяснения более подробно рассматриваются в учебнике по химии), что число присутствующих частиц (ЛО является одним и тем же для всех. Поэтому мы можем рассматривать P, V и N как константы, а потому если мы запишем уравнение 14.3 как v = √(3PV/N)√(1/m), то мы можем упростить его и привести к виду: v = k√(1/m). В таком случае можно сказать, что при стандартных условиях температуры и давления средняя скорость молекул газа прямо пропорциональна √(1/m). Другими словами, мы можем сказать, что она обратно пропорциональна квадратному корню из массы отдельных молекул, то есть «молекулярному весу».
Это заключение иногда называют законом Грэма, поскольку впервые этот вывод обосновал в 1829 году шотландский химик Томас Грэм (1805–1869). Он отметил, что степень диффузии газа (которая, оказывается, зависит от скорости его молекул) обратно пропорциональна квадратному корню его плотности (а плотность газа зависит от молекулярного веса).
Более подробно молекулярные веса рассматриваются в учебнике по химии, но мы можем сказать, что молекула водорода обладает 1/16 молекулярного веса молекулы кислорода. Так как молекулы водорода обладают массой в 16 раз меньшей, чем молекулы кислорода, то и двигаются они со скоростью равной √16, то есть в четыре раза быстрее. Если при температуре 273 °К (0 °C) молекулы кислорода перемещаются со скоростью 460 м/с (0,28 мили в секунду), то молекулы водорода при той же самой температуре перемещаются со скоростью 1840 м/с (или 1,12 мили в секунду). При температуре 546 °К (273 °С) скорости молекул и кислорода и водорода умножаются в 1,4 раза, и последние двигаются со скоростью 2600 м/с (или 1,58 мили в секунду).
Скорость звука в газе частично зависит от скорости, с которой газовые молекулы могут «качаться» вперед и назад, чтобы сформировать области сжатия и расширения. Поскольку с повышением температуры молекулы перемещаются более быстро, скорость звука также возрастает. Далее можно сказать, что в различных газах скорость звука обратно пропорциональна квадратному корню молекулярного веса, потому что он отображает изменение молекулярной скорости.
Поскольку воздух на 4/5 состоит из азота (молекулярный вес равен 28), а на 1/5 — из кислорода (молекулярный вес равен 32), его «средний молекулярный вес» равен 29. Молекулярный вес водорода равен 2. При некоей данной температуре молекула водорода перемещается в √(29/2) или в 3,8 раза быстрее, чем «средняя» молекула воздуха. Поскольку скорость звука в воздухе при 20 °С равна 344 м/с, то при той же температуре скорость звука в водороде приблизительно будет равна 1300 м/с.
Столб воздуха в органной трубе, если его потревожить, будет вибрировать с собственной частотой, которая зависит от размера столба и скорости движения молекул воздуха. Поэтому органная труба данного размера при данной температуре издаст ноту данной высоты тона. Если мы заполним эту же трубу водородом, молекулы которого будут двигаться более быстро, чем молекулы воздуха, то та же самая труба при той же самой температуре издаст звук намного более высокого тона. (Если заполнить легкие человека водородом (эксперимент, который мы настоятельно НЕ рекомендуем проводить), то такой человек будет обладать, по крайней мере какое-то время, весьма пронзительным тембром голоса.)
Поскольку и тон органной трубы, и скорость звука зависят от скорости молекул газа, то эту зависимость можно рассчитать. Действительно, приблизительно в 1800 году немецкий физик Эрнст Ф.Ф. Хладни (1756–1827), его еще иногда называют «отец акустики», вычислил скорость звука в различных газах (что довольно трудно измерить непосредственным образом), отталкиваясь от высоты тона органных труб, заполненных газом (что измерить достаточно легко).
Безусловно фактические скорости отдельных молекул охватывают весьма широкий диапазон, и некоторые молекулы специфического газа перемещаются очень быстро. Даже при 0 °С между молекулами кислорода существует очень небольшое трение, что позволяет им двигаться, хотя бы какое-то время, со скоростями до 7 миль в секунду, что превышает среднюю скорость приблизительно в 25 раз.
Как мы помним, 7 миль в секунду являются второй космической скоростью, и молекула, перемещающаяся с поверхности Земли с такой быстротой, должна покинуть Землю и уйти в межпланетное пространство. По этой причине могло бы казаться, что кислород должен постоянно «просачиваться» из земной атмосферы. Да, это — так, но это не должно быть причиной для паники. Во-первых, существует лишь только весьма незначительное количество молекул кислорода, которые перемещаются со скоростью в 25 раз больше средней скорости. Во-вторых, из тех же молекул, которые смогли сделать это, только незначительное число молекул избегает ударов о другие молекулы, а соответственно потери своей необычайно высокой скорости, до того как оно поднимется в верхние слои атмосферы. Да, такая «утечка кислорода» имеет место, но она происходит настолько медленно, что недостатка кислорода на Земле не следует ожидать еще несколько миллиардов лет.
