Для индийцев же отрицательные числа смысл имели. Действительно, именно в Индии (и в Китае) впервые появились отрицательные числа. Брахмагупта, индийский математик VII века, приводя правила деления, включал в рассмотрение и отрицательные числа. «Положительное число, деленное на положительное, или отрицательное, деленное на отрицательное, дают положительный результат, — писал он. — Положительное, деленное на отрицательное, есть отрицательное. Отрицательное, деленное на положительное, есть отрицательное». Это те же правила, которые мы признаем сегодня: при делении одного числа на другое результат положителен, если числа имеют одинаковый знак, и отрицателен, если разный.
Как 2 — 3 считалось числом, так и 2 — 2 было числом для индийцев. Это был ноль. Не просто символ-заместитель, обозначавший пустое место на абаке, а число. Ноль имел собственное значение и фиксированное место на числовой оси. Поскольку ноль был равен 2 — 2, то он должен был находиться между (2 — 1) и отрицательным числом (2 — 3). Ничто другое не имело смысла. Ноль больше не мог располагаться справа от девяти, как это имеет место на компьютерной клавиатуре; ноль занимал свое собственное место на числовой оси. Числовая ось больше не могла существовать без ноля, как не могла существовать система счисления без числа 2. Ноль наконец-то явился.
Впрочем, даже индийцы думали, что ноль — в силу всех обычных причин — весьма странное число. В конце концов, ноль, умноженный на что угодно, — это ноль; он все всасывает в себя. А уж когда вы делите на ноль, начинается полная фантасмагория. Брахмагупта пытался выяснить, что такое 0 / 0 и 1 / 0, но ему это не удалось. «Ноль, деленный на ноль, — ничто, — писал он. — Положительное или отрицательное число, деленное на ноль, есть дробь c нолем в знаменателе». Другими словами, он думал, что 0 / 0 есть 0 (он, как мы увидим, ошибался), а 1 / 0… ну, этого мы не знаем, потому что высказывание Брахмагупты смысла не имеет. В основном он махал руками и надеялся, что проблема сама собой исчезнет.
Ошибка Брахмагупты продержалась не так уж долго. Со временем индийцы поняли, что 1 / 0 бесконечно велико. «Эта дробь, у которой знаменатель — ноль, называется бесконечным количеством, — пишет Бхаскара, индийский математик XII века, говоря о том, что происходит, когда какое-то число прибавляется к 1 / 0. — Не происходит изменения, как бы много ни было прибавлено или убавлено, как ничего не меняется в бесконечном и неизменном Боге».
Бог был найден в бесконечности и в ноле.
Арабские цифры
Не забывает ли человек, что Мы создали его из пустоты?
Коран
К VII веку с падением Рима Запад пришел в упадок, но Восток процветал. Достижения Индии затмила другая восточная цивилизация. Когда звезда Запада стала закатываться за горизонт, начала восходить другая звезда — ислам. Ислам позаимствовал ноль в Индии, Запад со временем позаимствовал его у ислама. Восхождение ноля к славе должно было начаться на Востоке.
Однажды вечером в 610 году Мохаммед, тридцатилетний уроженец Мекки, впал в транс на горе Хира. Согласно легенде, ангел Джабраил повелел ему: «Повторяй!» Мохаммед так и сделал, и его божественное откровение зажгло пожар. Через десять лет после смерти Мохаммеда, в 632 году, его последователи захватили Египет, Сирию, Месопотамию и Персию. Иерусалим, священный город иудеев и христиан, пал. К 700 году ислам распространился от Инда на востоке до Алжира на западе. В 711 году мусульмане захватили Испанию и приблизились к границам Франции. На востоке они в 751 году разбили китайцев. Их империя простиралась дальше, чем мог даже вообразить Александр Македонский. По пути в Китай мусульмане завоевали Индию. Там арабы и узнали об индийских цифрах.
Мусульмане быстро впитывали мудрость завоеванных ими народов. Ученые начали переводить тексты на арабский язык, и в IX столетии халиф аль-Мамун основал в Багдаде огромную библиотеку: Дом мудрости. Ей предстояло стать центром учености восточного мира, и одним из первых в ней начал работать математик Мохаммед ибн-Муса аль-Хорезми.
Аль-Хорезми написал несколько важнейших книг, в частности «Алджабр вал мугабала», где описывал способы решения элементарных уравнений; название «Алджабр» (переводящееся примерно как «завершение») дало нам термин «алгебра». Аль-Хорезми также написал книгу «Об индийском счете», что позволило новому способу написания чисел быстро распространиться по арабскому миру вместе с алгоритмами и приемами быстрого умножения и деления. Слово «алгоритм» было латинской формой имени аль-Хорезми. Хотя арабы позаимствовали цифры в Индии, остальной мир назвал новую систему арабскими цифрами.
Слово «зеро» имеет индийские и арабские корни. Приняв индийско-арабские цифры, арабы также приняли и ноль. Индийское название ноля было «сунья» — «пустое»; арабы переделали это слово в «сифр». Когда некоторые западные ученые описывали новое число своим коллегам, они превратили «сифр» в нечто, звучащее как бы по-латыни: «зефирус», откуда и пошло «зеро». Другие западные математики так сильно не исказили слово «сифр» и стали называть ноль «цифра». Ноль был так важен для новой системы счисления, что люди начали называть цифрой любой знак для записи числа; отсюда, в частности, произошло французское chiffre, в равной степени применимое к любой из арабских цифр.
Впрочем, когда аль-Хорезми писал «Об индийском счете», Запад все еще был очень далек от принятия ноля. Даже мусульманский мир со своими восточными традициями был пропитан учением Аристотеля благодаря завоеваниям Александра Великого. Впрочем, индийские математики совершенно ясно утверждали: ноль — олицетворение пустоты. Таким образом, мусульманам, чтобы принять ноль, нужно было отвергнуть Аристотеля. Именно это они и сделали.
В XII веке еврейский ученый из Кордовы, Моисей Маймонид, описывал Калам — рассуждения исламских теологов — с ужасом. Он отмечал, что вместо принятия аристотелевского доказательства существования Бога мусульманские ученые обратились к атомистам, старым соперникам Аристотеля, чья доктрина, хоть и не пользовавшаяся признанием, сумела пережить разрушительное действие времени. Атомисты, как мы помним, утверждали, что материя состоит из отдельных частиц, называемых атомами, и чтобы эти частицы могли двигаться, между ними должен был существовать вакуум, иначе атомы столкнулись бы и не могли уступать друг другу дорогу.
Мусульмане ухватились за идеи атомистов. В конце концов теперь, когда стал использоваться ноль, идея пустоты снова сделалась респектабельной. Аристотель пустоту ненавидел, атомисты настаивали на ее существовании. Библия говорила о создании мира из пустоты, в то время как греческая доктрина отвергала такую возможность. Христиане, преклонявшиеся перед греческой философией, ставили Аристотеля выше Библии; мусульмане же сделали противоположный выбор.
Я то, что я есть: ничто
Ничто — создание, и создание — ничто… Наш ограниченный ум не может охватить или понять этого, потому что знание — бесконечность.
Азриэль из Жероны
Ноль был эмблемой нового учения: отвержения Аристотеля и принятия пустоты и бесконечности. По мере распространения ислама и ноль распространился по мусульманскому миру, повсюду противореча доктрине Аристотеля. Исламские ученые спорили друг с другом, и в XI веке философ Абу Хамид аль-Газали заявил, что следование учению Аристотеля должно караться смертью. Вскоре после этого споры прекратились.
