Однако как доказать, что 2 фута — на самом деле предел гонки? Я бросаю вам вызов. Задайте мне маленькое расстояние — сколь угодно малое, и я скажу вам, когда и Ахиллеса, и черепаху будет отделять от предела расстояние меньшее, чем заданное.
Например, пусть вы задали мне расстояние в одну тысячную фута. После некоторых вычислений я скажу вам, что после одиннадцатого шага Ахиллес окажется в 977 миллионных от отметки в 2 фута, а черепаха — в половине этого расстояния. Я принял ваш вызов и выиграл, имея даже 23 миллионных фута в запасе. Что было бы, если бы вы назвали расстояние в одну миллиардную фута? После 31 шага Ахиллес был бы в 931 триллионной от цели — на 69 триллионных ближе, чем требовалось, а черепаха снова в половине этого расстояния. Каков бы ни был ваш вызов, я выиграю, назвав вам момент, в который Ахиллес будет ближе к цели, чем вы потребовали. Это показывает, что действительно Ахиллес в процессе гонки как угодно близко подбегает к отметке в два фута: два фута — это предел гонки.
Теперь вместо того, чтобы думать о гонке как о сумме бесконечного числа шагов, представьте ее себе как предел конечных частичных гонок. Например, в первой из них Ахиллес добегает до отметки в один фут. Всего при этом он пробегает один фут. В следующей частичной гонке он пробегает две части — сначала один фут, потом еще полфута. Всего он пробегает 1 + 1 / 2 — всего 1,5 фута. Третья частичная гонка приведет его на 1 + 1 / 2 + 1 / 4 — всего на 1,75 фута. Каждая из этих частичных гонок конечна и ясно определена, и мы никогда не сталкиваемся с бесконечностью.
То, что Даламбер сделал неформально и что позднее формализировали француз Огюст Коши, чех Бернард Больцано и немец Карл Вейерштрасс, заключалось в том, что бесконечная сумма 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +…+ 1/2n +… была записана как выражение lim (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +…+ 1/2n) при n, стремящемся к бесконечности. Это очень хитроумное изменение в записи, но в нем заключена вся разница.
Когда в выражении присутствует бесконечность или когда мы делим на ноль, все математические операции, даже такие простые, как сложение, вычитание, умножение и деление, оказываются все закона. Все делается бессмысленным, так что когда вы имеете дело с бесконечным рядом членов, даже знак + делается не таким уж однозначным. Поэтому-то сумма бесконечного числа +1 и –1, как мы видели в начале главы, одновременно равна 0 и 1.
Однако поставив перед рядом знак lim, вы отделяете процесс от его цели. Таким образом, вы избегаете манипулирования бесконечностью и нолями. Так же, как в случае Ахиллеса, каждая из частичных гонок конечна, конечна и каждая частичная сумма под знаком lim. Их можно складывать, делить, возводить в квадрат — делать с ними все что угодно. Правила математики работают, потому что все объекты конечны. Затем, после того как все манипуляции завершены, вы находите предел: экстраполируете и находите, к чему выражение стремится.
Иногда предела не существует. Например, сумма бесконечного числа +1 и –1 предела не имеет. Величина частичных сумм колеблется между 0 и 1; ряд не стремится к предсказуемому значению. Однако в случае гонки между Ахиллесом и черепахой частичные суммы составляют 1; 1,5; 1,75; 1,875; 1,9375 и т.д. — они оказываются все ближе и ближе к 2. Суммы имеют пункт прибытия — предел.
То же самое происходит при нахождении производной. Вместо того чтобы делить на ноль, как делали Ньютон и Лейбниц, современные математики делят на число, которому они позволяют стремиться к нолю. Они производят деление — совершенно законно, поскольку в операции не участвует ноль, — а потом находят предел. Жульнические уловки с исчезновением возведенных в квадрат бесконечно малых, а затем делением на ноль, чтобы найти производную, больше не нужны (см. Приложение С).
Такая логика может показаться мелочной и как аргумент столь же мистической, как «призраки» Ньютона, но на самом деле это не так. Она удовлетворяет жесткому требованию математиками логической строгости. Концепция пределом обладает твердым и последовательным основанием. На самом деле можно распроститься с приведенным выше обсуждением «вызова»: существуют и другие способы определения предела. Можно назвать его схождением двух чисел, предела сверху и предела снизу. (У меня есть замечательное доказательство этого, но, увы, эта книга слишком мала, чтобы оно могло в ней поместиться.) Поскольку пределы логически безупречны, производная, определенная в терминах пределов, тоже делается логически безупречной, и исчисление получает надежный фундамент.
Больше не было необходимости делить на ноль. Из области математики исчез мистицизм, и снова к власти пришла логика. Мир царил до эры Террора.
Глава 6
Близнец бесконечности
Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человека.
Леопольд Кронекер
Ноль и бесконечность всегда выглядели подозрительно похожими друг на друга. Умножьте ноль на что угодно, и вы получите ноль. Умножьте бесконечность на что угодно, и вы получите бесконечность. Деление числа на ноль дает бесконечность, деление числа на бесконечность дает ноль.
Прибавление ноля к числу оставляет число без изменения. Прибавление числа к бесконечности оставляет бесконечность без изменения. Это сходство было очевидным со времен Ренессанса, но математикам пришлось ждать до конца Французской революции, прежде чем они открыли большой секрет ноля.
Ноль и бесконечность — две стороны одной медали, равные и противоположные, инь и ян, одинаково могучие противники на противоположных концах области чисел. Причиняющая неприятности природа ноля связана со странной силой бесконечности, и можно понять бесконечное, изучая ноль. Чтобы узнать об этом, математикам пришлось погрузиться в мир воображаемого, странный мир, где окружности — прямые, прямые — окружности, а бесконечность и ноль находятся на противоположных полюсах.
Мнимые
…Прекрасное и удивительное убежище божественного духа — почти земноводное между существующим и не существующим.
Готфрид Вильгельм Лейбниц
Ноль — не единственное число, которое веками отвергалось математиками. Как и ноль, страдавший от предубеждения греков, игнорировались и другие числа — за то, что не имели геометрического смысла. Одним из таких чисел было i, обладавшее ключом к странным особенностям ноля.
Алгебра предложила новый способ смотреть на числа, совершенно оторванный от греческих геометрических идей. Вместо того чтобы пытаться измерить площадь под параболой, как это делали греки, ранние алгебраисты искали решения уравнений, определявших соотношения между разными числами. Например, простое уравнение 4x — 12 = 0 описывает, как неизвестная величина x соотносится с числами 4, 12 и 0. В данном случае x равен 3. Подставьте 3 вместо x в данном уравнении, и вы сразу увидите, что уравнение выполняется: 3 — это решение уравнения 4x — 12 = 0.
