Рис. 41. Спиральное движение вовне и внутрь на плоскости
Рис. 42. На сфере — зеркальное отражение
Бесконечный ноль
Моя теория тверда, как скала; каждая стрела, направленная в нее, быстро вернется к стрелку. Откуда я это знаю? Я это изучал… Я проследил корни, так сказать, до первой непогрешимой причины всех созданных вещей.
Георг Кантор
Бесконечность больше не была тайной, она стала обыкновенным числом. Это был наколотый на булавку образец, приготовленный для изучения, и математики быстро взялись за анализ. Однако в самых глубинах бесконечности, угнездившись в огромном континууме чисел, все время появлялся ноль. Самое поразительное то, что сама бесконечность может быть нолем.
В прежние времена, до того как Риман увидел, что комплексная плоскость — на самом деле сфера, функции типа 1 / x ставили математиков в тупик. Когда x стремится к нолю, 1 / x делается все больше и больше и в конце концов просто взрывается и стремится к бесконечности. Риман сделал совершенно приемлемым приближение к бесконечности, поскольку бесконечность — это всего лишь точка на сфере, такая же, как любая другая точка; она больше не является чем-то, чего следует бояться. Математики начали анализировать и классифицировать точки, в которых функции взрываются: сингулярности, или особые точки.
Для кривой 1 / x сингулярностью является точка x = 0. Это очень простой вид сингулярности, которую математики называют полюсом. Существуют и другие виды сингулярности, например, для кривой sin (1 / x) точка x = 0 — существенно особая точка. Существенно особые точки — странные твари, рядом с сингулярностью такого сорта кривая делается абсолютно безумной. Она колеблется вверх и вниз все быстрее и быстрее по мере приближения к сингулярности, мечется от положительных значений к отрицательным и обратно. Даже в самой малой окрестности сингулярности кривая принимает почти все вообразимые значения снова и снова. Однако как бы странно эти функции не вели себя вблизи сингулярности, они больше не являлись тайной для математиков, которые учились вскрывать бесконечность.
Главным анатомом бесконечности был Георг Кантор. Хотя он в 1845 году родился в России, большую часть жизни Кантор провел в Германии. И именно в Германии — стране Гаусса и Римана — были открыты секреты бесконечности. К несчастью, Германия была также родиной Леопольда Кронекера, математика, который загнал Кантора в психиатрическую больницу.
В основе конфликта Кантора с Кронекером лежало представление о бесконечности, представление, которое может быть проиллюстрировано простой загадкой. Представьте себе большой стадион, полный людей. Вам нужно узнать, больше ли на стадионе мест, чем зрителей, или их число одинаково. Вы могли бы пересчитать людей и узнать, сколько имеется мест, и потом сравнить количества, однако это заняло бы много времени. Есть гораздо более разумный способ. Просто попросите всех присутствующих сесть. Если останутся незанятые места, значит, людей меньше, чем мест. Если какое-то количество людей останется стоять, значит, мест слишком мало. Если все места окажутся заняты и никто не останется стоять, то число зрителей и мест одинаково.
Кантор обобщил этот прием. Он сказал, что два числовых множества чисел имеют одинаковую мощность, если один набор «садится» на другой набор — по одному числу на одно число другого набора — и не остается излишка. Например, рассмотрим набор {1, 2, 3}; он имеет ту же мощность, что и {2, 4, 6}, потому что мы можем создать точный паттерн «рассадки»: все числа «сидят», и все «места» заняты.
Однако это не так с набором {2, 4, 6, 8}, потому что 8 оказывается пустым «местом»:
Дело приобретает особенно интересный характер, когда у вас имеется бесконечное множество. Рассмотрим множество всех чисел {0, 1, 2, 3, 4, 5…}. Очевидно, что оно равномощно самому себе: можно каждое число просто «посадить» на самого себя.
Здесь нет никакой уловки. Каждое множество, очевидно, равно (и равномощно) самому себе. Но что случится, если мы начнем убирать числа из набора? Например, что будет, если мы уберем ноль? Как ни странно, устранение ноля совсем не изменит размер мощности множества. Несколько изменив «рассадку», мы можем обеспечить, чтобы у всех было место и все места были заняты.
Набор остался той же мощности, несмотря на то, что мы из него кое-что убрали. На самом деле из набора целых чисел мы можем убрать бесконечное количество элементов — можем исключить, например, нечетные числа — мощность множества останется неизменной. Все по-прежнему имеют места, и каждое место занято.
Это есть определение бесконечного: это нечто, что может оставаться той же мощности, даже если вы из него что-то вычтете.
Четные числа, нечетные числа, целые числа — все эти множества имеют одинаковую мощность, размер, которую Кантор обозначил как
0 (алеф-ноль, названный так по первой букве еврейского алфавита). Поскольку эти наборы имеют ту же мощность, что и множество натуральных чисел, любое множество мощности
0 называется счетным. (Конечно, на самом деле вы не можете их пересчитать, если не располагаете бесконечным временем.) Даже множество рациональных чисел — множество чисел, которые могут быть записаны как a / b для целых чисел a и b, — является счетным. Ловко отведя рациональным числам подобающие места, Кантор показал, что рациональные можно «рассадить» по стульям с натуральными номерами, то есть что они образуют множество размера
0 (см. Приложение D).
