А что тогда можно сказать о √−1? Это не целое число, не рациональное и не иррациональное. Оно также не трансцендентное. Означает ли это, что его не существует? Нет, определенным образом оно существует, но только в такой степени, в которой реально существуют и другие числа. Они служат инструментами, которые мы используем для вычислений. Если такой инструмент (будь то 0, или −7, или √2) полезен, пользуйтесь им. Если √−1 нет в списке странных нецелых чисел, это не означает, что его не существует. По моему мнению и по мнению физиков и математиков, это число так же реально, как и 1.
Главная проблема с мнимыми числами скрыта в самом их названии. Если бы √−1 называлось «расширенным» вместо «мнимого», возможно, оно не создавало бы таких мучений для многих поколений студентов. Или, может быть, следовало назвать его «числом Е» по имени великого математика Леонарда Эйлера
[79], который показал нам, что еπ√−1 + 1 = 0. Ричард Фейнман называл эту формулу «самой замечательной в математике». Она связывает пять важнейших чисел – е (основание натурального логарифма, математическую константу), π, √−1, 1 и 0 – совершенно неожиданным способом, который оказывается чрезвычайно ценным и для электротехники, и для квантовой физики. Замечательно, что Эйлер впервые использовал для обозначения основания натурального логарифма букву е, которая в честь ученого называется числом Эйлера.
Вернемся к мнимому времени. Часы не могут показать √−1, на них нанесены только целые числа, по которым двигаются малая и большая стрелки. Как может время быть мнимым и даже расширенным?
Ответ состоит в том, что формулы Минковского представляют время вещественными числами – часами, минутами и секундами. Мнимо именно абстрактное пространство-время, постулированное Минковским. Время остается реальным, но координата в пространстве-времени оказывается вещественным числом t, помноженным на мнимое число √−1. Тем не менее когда физики говорят о конструкции Минковского – четырехмерном пространстве-времени, они рассматривают координату it в качестве мнимого времени.
Мнимое время и четырехмерное пространство-время
Самым важным вкладом Минковского в релятивистскую теорию считается не формулирование мнимого времени, а предложение концепции пространственно-временного континуума. Он показал, что уравнения, используемые в теории относительности для расчета координат местоположения и времени события, в новой системе отсчета могут быть представлены как повороты в пространстве-времени. Физики-теоретики нашли эту идею очень интересной. Вместо работы только с уравнениями теперь они могли представлять себе релятивистскую теорию в картинках. Да, эти картинки должны быть четырехмерными, и некоторые физики были способны вообразить их. Но большинство постарались облегчить дело и оперировать лишь одним пространственным измерением (как та линия, по которой в парадоксе близнецов Мэри двигалась от Земли к звезде) и одним временным измерением. В таком случае пространственно-временная диаграмма может быть изображена на плоском листе бумаги, а изменение системы координат при переходе из одной системы отсчета в другую предполагало всего лишь поворот созданной диаграммы вокруг своей оси.
Важнейшее значение пространства-времени в том, что оно превратило теорию относительности из алгебраической проблемы в геометрическую. Роль Эйнштейна была колоссальна. Он занялся изучением возможности того, что все физические уравнения – только элементы сложной геометрии. Ученый начал с гравитации, потому что к тому моменту уже понял, что действие гравитационного поля эквивалентно действию ускорения. Из этого он вывел, что время течет быстрее на удалении от Земли, в сравнении с временем на ее поверхности. Могут ли быть переведены в геометрию все поля, а не только гравитационные? Как насчет электромагнетизма?
Самая замечательная работа всей моей жизни
Эйнштейн почти 10 лет работал над созданием геометрического представления о гравитации. Это был один из самых фантастических эпизодов в истории человеческой мысли. В своем завершенном труде Эйнштейн позволил пространству-времени иметь произвольную геометрию, включая искривления и растяжения. Точно так же, как на поверхности Земли имеются горы и долины, четыре измерения пространства-времени могут изгибаться и поворачиваться, сжиматься и расширяться, оставаясь при этом протяженными и целостными. Планеты и их спутники, согласно этим взглядам, просто двигались по орбите вокруг массивных тел, подчиняясь действующим на них силам и следуя тем курсом, который представлялся им «прямой линией» (они еще называются геодезическими). Старое гравитационное поле Ньютона ушло в прошлое, замененное неевклидовой геометрией, которая зависела от плотности существующей поблизости энергии (включая энергию массы).
Эйнштейну удалось найти уравнение, в котором геометрия пространства-времени определялась распределением в нем энергии. При таком подходе гравитационные силы перестают действовать. Присутствие массы означает наличие энергии; присутствие энергии искривляет пространство и время; искривление пространства и времени означает, что объекты подчиняются силам гравитации, а на самом деле они просто двигаются вперед по сложному пространственно-временному континууму. В этом смысле планеты, обращающиеся по своим орбитам вокруг звезд, следуют по прямой линии не сквозь космическое пространство, а сквозь пространство-время.
К 1915 году Эйнштейн не только нашел свое главное окончательное уравнение, но также убедил себя (а вскоре и весь мир), что оно правильно. Это уравнение выглядит просто:
где k = 2,08 × 10−43 в стандартных физических единицах измерения (метрах, килограммах и секундах).
Это и есть уравнение общей относительности! Вся его сложность скрыта в определении понятий G и T. Сегодня величину G мы называем тензором Эйнштейна (метрическим тензором). Это математический объект, описывающий искривленность в зависимости от плотности пространства-времени. Что это означает? Пространство более не простое. Поскольку оно может быть растянуто и сжато, вы можете, например, «сжать» много пространства в какую-то одну небольшую область. То же самое относится и ко времени. Таким образом уравнения работают с замедлением времени. Если какая-то область пространства поблизости содержит черную дыру, вы обнаружите, что только пересечение этой дыры может потребовать от вас перемещения на бесконечное расстояние. Это как прохождение по горе: прямое движение вперед состоит из множества движений вверх и вниз. Но в теории Эйнштейна нет подъемов и спусков. Скорее, в ней открывается все большее пространство и расстояние, «сжатые» в эту область.
