Можно записать это уравнение в еще более простом виде, если использовать обозначение Δt = t2 − t1 и ΔT = T2 − T1. (Δ – заглавная греческая буква дельта, которая часто используется для обозначения разностей. Вслух Δt читается как «дельта тэ».) С использованием этого обозначения уравнение принимает вид:
Это и есть растяжение времени. Промежуток времени между двумя событиями в системе отсчета Джона больше, чем промежуток времени между теми же событиями в системе отсчета Мэри, в γ раз. В примере с парадоксом близнецов, описанном в главе 4, коэффициент γ равнялся 2, так что Мэри, чтобы постареть на 8 лет, потребуется (в системе отсчета Джона) 16 лет.
Линейное сжатие
А теперь посмотрим на линейное сжатие, или изменение длины. При измерении расстояния между объектами в любой системе отсчета мы отмечаем положение (координаты) объектов в один и тот же момент времени и вычитаем одно из другого. Расстояние между двумя одновременными событиями (t2 = t1) в собственной системе отсчета Джона составляет x2 − x1. Применим первую систему уравнений Лоренца к этим двум событиям:
X2 = γ(x2 − vt2);
X1 = γ(x1 − vt1).
Вычтя второе уравнение из первого, получим:
X2 − X1 = γ[x2 − x1 − v(t2 − t1)].
Поскольку для этого примера два события одновременны в системе отсчета Джона, t2 = t1, множитель (t2 − t1) = 0. При подстановке этого значения уравнение упрощается до вида:
Расстояние между двумя событиями в собственной системе отсчета Джона составляет x2 − x1; обозначим эту величину Δx. Длина того же объекта в собственной системе отсчета Мэри (в которой объект покоится) составляет X2 − X1; обозначим это ΔX. Получаем уравнение:
Это и есть уравнение линейного сжатия. Если длина объекта в собственной системе отсчета составляет ΔX, то при измерении в другой системе отсчета эта длина изменится в 1/γ раз. (Обратите внимание: γ всегда больше 1, поэтому длина, то есть линейный размер объекта уменьшится.)
Одновременность
Временная разница между двумя событиями равна t2 − t1 = Δt. В другой системе отсчета эти события происходят в моменты времени T2 и T1, а временной интервал в этой системе отсчета составит T2 − T1 = ΔT. Мы также обозначим разницу координат двух событий (то есть расстояние между ними) в системе Джона Δx, а расстояние между ними в системе Мэри ΔX. Воспользовавшись первым преобразованием Лоренца для времени, получим:
T2 = γ(t2 − x2v/c²);
T1 = γ(t1 − x1v/c²).
Вычитаем одно уравнение из другого и подставляем Δt, ΔT и Δx:
В особом случае, когда в системе Джона оба события происходят одновременно (то есть когда Δt = 0), уравнение упрощается до вида:
Замечательность результата в том, что ΔT – необязательно нуль. Это значит, что в собственной СО Мэри эти события необязательно одновременны, хотя в собственной СО Джона они происходят в один и тот же момент времени. Если я обозначу расстояние между двумя событиями Δx = −D (знак здесь может быть как плюс, так и минус, в зависимости от расположения x1 и x2), уравнение примет вид:
Если ни v, ни D не равны нулю, ΔT тоже не равно нулю, и это означает, что два события не одновременны в системе Мэри. Это «временной скачок», который возникает у отдаленного события при переключении с одной системы отсчета на другую. Скачка не возникает, если D = 0, то есть если два события происходят в одной точке (скажем, если Джон и Мэри вновь соединятся). ΔT может быть положительным или отрицательным, в зависимости от знаков D и v.
Скорости объектов и скорость света
Здесь я покажу, почему скорость света одинакова во всех системах отсчета.
Если некоторый объект движется, мы можем обозначить как x1 его координату в момент времени t1 и как x2 – его координату в момент t2. Представьте, что на самом деле это два события. Скорость нашего объекта такова: v = (x2 − x1)/(t2 − t1) = Δx/Δt. В другой системе отсчета: V = (X2 − X1)/(T2 − T1) = ΔX/ΔT. Мы можем воспользоваться преобразованием Лоренца, чтобы сравнить эти две величины. Обозначим буквой u относительную скорость двух СО, чтобы можно было использовать v и V для обозначения скорости объекта в каждой из двух систем. Запишем преобразование для двух событий и вычтем одно из другого:
ΔX = X2 − X1 = γ[(x2 − x1) − u(t2 − t1)] = γ[Δx − uΔt];
