Коротко говоря, каждый раз, когда Ахиллес достигает точки, в которой изначально была черепаха, она продвигается чуть дальше. И это остается верным, сколько бы раз ни повторялось! Так, расстояние между ними будет сокращаться, но Ахиллес никогда не догонит черепаху.
Абсурд, не так ли? Достаточно на практике убедиться в том, что бегун без труда обгонит черепаху. Однако с точки зрения теоретической логики ошибки в рассуждениях нет.
Математикам потребуется немало времени, прежде чем будет сделан вывод о том, что этот парадокс есть не что иное, как ловкая игра в бесконечность. Если бы бегуны преодолевали дистанцию, которую Евклид называл отрезком, т. е. ограниченную часть прямой, которая обладает длиной, в то время как он состоит из бесконечного количества точек, не обладающих длиной. Таким образом, мы можем говорить о сочетании бесконечного и конечного. Парадокс Зенона заключается в том, что временные интервалы, за которые Ахиллес преодолевает все новые и новые расстояния, могут быть бесконечно разделены на более мелкие. Если же заменить бесконечность на ограниченное количество времени, то Ахиллес без труда догонит черепаху, когда истечет время.
Понятие бесконечного в математике привело не только к появлению многочисленных парадоксов, но и к формированию самых невероятных теорий.
На протяжении всей истории у математиков было неоднозначное отношение к парадоксам. С одной стороны, они представляют большую опасность. Как только однажды в теории возникает парадокс, все умозаключения ее сторонников и построенные на ее принципах теоремы теряют свой смысл. Но, с другой стороны, какой вызов! Парадоксы – это неиссякаемый источник для новых вопросов и знаний. Наличие парадокса говорит о том, что есть еще что-то, до конца не изученное. Это значит, что мы не до конца поняли явление, плохо сформулировали определение, неверно выбрали аксиому. Это подтверждение того, что вещи устроены иначе, чем мы думали ранее. Парадокс – это приглашение в увлекательное путешествие, повод для обдумывания сущностных идей. Как много новых идей и теорий мы обошли бы стороной, если бы парадоксы не подтолкнули нас к их открытию?
Парадоксы Зенона способствовали тому, что ученые описали концепции бесконечного и измеримого. Парадокс лжеца дал толчок для дальнейших поисков логиками возможностей более наглядного подтверждения своих идей. Даже сегодня многие ученые изучают определенные направления математики, которые зарождались еще в парадоксах древнегреческих ученых.
В 1924 г. математики Стефан Банах и Альфред Тарски явили свету парадокс, впоследствии названный в их честь. Он ставит под сомнение сам принцип мозаики, каким бы очевидным тот ни казался. Банах и Тарски смогли описать разделение мозаики в трехмерном пространстве, в результате чего объем отличался в зависимости от того, каким образом складывались отдельные элементы! Так, выбранные элементы были настолько странными и несуразными, что не имели ничего общего с геометрическими фигурами, которые выбирали древние греки. Можно быть уверенными в том, что принцип мозаики работает в случае с фигурами в форме треугольников, квадратов и иных классических фигур. Доказательство теоремы Пифагора, данное Лю Хуэйем, остается верным.
Но пусть это будет уроком! Не стоит безрассудно брать за основу кажущееся очевидным. Сохраним же интерес к тайнам математического мира, который греческие ученые когда-то открыли для нас.
6
Число π
14 марта 2015 г., я иду во Дворец открытий. Сегодня день торжества! В начале 1930-х годов французский физик, лауреат Нобелевской премии Жан-Батист Перрен замыслил проект создания научного центра, деятельность которого была бы направлена на привлечение общественного интереса к последним исследованиям во всех областях науки. Дворец открыт в 1937 г. в двух шагах от Елисейских полей и занял все западное крыло Большого дворца площадью в 25 000 кв. м. Выставки длились не более полугода и имели большой успех. Двадцать пять лет спустя выставки во Дворце открытий до сих пор привлекают сотни тысяч посетителей ежегодно.
Выйдя из метро, я иду по авеню Франклина-Рузвельта ко входу во Дворец. Подходя к зданию, замечаю цифры: 4, 2, 0, 1, 9, 8, 9. Странная последовательность цифр, написанных на земле, переходит на ступени лестницы, а затем внутрь здания. Необычное решение! В предыдущий раз, когда я был здесь, цифр еще не было. Они продолжаются: 1, 3, 0, 0, 1, 9. Я захожу в здание дворца. Они повсюду: 1, 7, 1, 2, 2, 6. Они пересекают центральную ротонду, продолжаются вверх по лестнице, 7, 6, 6, 9, 1, 4. Я поднимаюсь по ступеням четыре на четыре, прохожу ко входу в планетарий и поворачиваю налево, 5, 0, 2, 4, 4, 5. Цифры ведут меня прямо к отделу математики. Я вижу, как они поднимаются по стене: 5, 1, 8, 7, 0, 7. И вот их источник. Я стою в центре огромной круглой комнаты, красные и черные цифры становятся все больше, они кружатся, поднимаясь все выше. Наконец я нахожу начало серии: 3, 1, 4, 1, 5… Я в сердце одного из самых символичных мест Дворца открытий: в зале π.
Число π, без сомнения, является самой известной и волнующей константой в математике. Круглая форма зала напоминает о том, что значение числа π неразрывно связано с геометрической формой окружности: умножив диаметр окружности на число π, можно узнать ее периметр. Буква π (читается как «пи») – шестнадцатая буква греческого алфавита, соответствует букве «П» и стоит первой в слове «периметр». Число π не такое большое – немного более 3, но его точное значение бесконечно: 3,14159265358979…
В самом зале π, на его округлых стенах написаны первые 704 цифры после запятой. Но сегодня этот ряд продолжен до 1000 значений. Стоит отметить, что сегодня особенный день. 14 марта 2015 г. – день числа π!
Впервые День π стали отмечать 14 марта 1988 г. в Эксплораториуме – американском аналоге Дворца открытий, расположенном в самом центре Сан-Франциско. Четырнадцатый день третьего месяца (что в американском написании обозначается как 3/14) – эта дата идеально подходила для того, чтобы отмечать День π, ведь обычно это число сокращают до 3,14. С тех пор эта инициатива была воспринята, и многие энтузиасты по всему миру собираются каждый год, чтобы отметить день постоянной и воздать почести самой математике. Празднование этого события набрало такой оборот, что в 2009 г. День π был признан официальным праздником Палатой представителей США.
В нынешнем, 2015 г. поклонники отмечают этот праздник особенно восторженно. Сегодняшняя дата 3/14/15 по совпадению соответствует более точному написанию числа π. Этот день должен особенно запомниться. По случаю празднования весь математический корпус Дворца открытий находится в центре событий. Я здесь по этой же причине. Как и другие математики, предвкушаю богатый на открытия день.
Число π появилось благодаря геометрии, а затем распространилось и на другие направления математики. Это многоликое число. В арифметике, алгебре, математическом анализе, теории вероятности встречаемое повсеместно число π вряд ли обойдет стороной кого-то из математиков. В самом центре Дворца открытий, на ротонде, изображено множество ипостасей константы. Посетители могут попытаться сосчитать точки, размеченные на полу, пропорции чисел в таблице умножения. На земле дети надевают на диск деревянные дощечки. Другая группа занята изучением траектории преломления точки на план. И каждый раз получается одинаковый результат: 3,1415…
