Таким образом, задача заключается в следующем: как узнать все данные о треугольнике и при этом сделать минимум измерений? Задаваясь этим вопросом, теоретики тригонометрии столкнулись с проблемой, аналогичной той, которая стояла перед Архимедом тысячелетием ранее. Во-первых, если вам известны размеры всех углов треугольника, но не известен размер ни одной из его сторон, можно сделать вывод, что вам известна его форма, но не размер. Для наглядности ниже продемонстрированы примеры таких треугольников, имеющих равные углы, но различную длину соответствующих сторон.
Тем не менее все они имеют одинаковые пропорции. Например, если необходимо определить, на какое число надо умножить длину самой длинной стороны, чтобы определить длину самой короткой, то можно выяснить что для каждого из этих трех треугольников результат будет одинаковый: 0,64! Аналогично тому, как в случае с определением периметра окружности необходимо умножить его диаметр на π, независимо от его размера.
Если быть совсем точным… почти 0,64 – это приблизительное число. Что касается π, эта величина не может быть вычислена точно, и нам приходится довольствоваться ее приблизительным значением. Можно попытаться определить значение более точно, как 0,642 или даже 0,64278, но это все еще далеко от совершенства. Десятичное значение этого числа имеет бесконечное число знаков после запятой. Аналогичным образом дело обстоит со всеми величинами, которые могут быть вычислены в этих треугольниках. Так, чтобы рассчитать величину средней стороны треугольника, необходимо умножить величину самой длинной стороны на 0,766, а чтобы рассчитать величину длинной стороны треугольника, необходимо умножить величину короткой стороны на 1,192.
Так как невозможно определить точные значения этих трех соотношений, математики дали им свои имена, для того чтобы обозначить предмет своего изучения. В ходе исторического развития они именовались по-разному, но сегодня общепринято называть их косинус, синус и тангенс соответственно. Различные варианты были введены и использовались, прежде чем были преданы забвению. Так, например, произошло с величиной секед, которую древние египтяне использовали для измерения наклона пирамид. В качестве еще одного примера такой величины можно назвать хорду равнобедренного треугольника, которую описали в Древней Греции.
Определение тригонометрических соотношений осложняется еще одним обстоятельством: их значения в различных треугольниках отличаются. Так, значения 0,642, 0,766 и 1,192 действительны только для треугольников с углами 40°, 50° и 90°. Если же взять прямоугольный треугольник с углами 20°, 70° и 90°, то значения косинуса, синуса и тангенса будет приблизительно равны 0,342, 0,940 и 2,747 соответственно! Таким образом, исследования в области тригонометрии потребовали гораздо больших усилий, чем ожидалось. Речь шла о поиске не только одного значения или даже трех, а о целых таблицах чисел, которые отличаются в зависимости от размера углов!
Ниже представлена таблица с тригонометрическими величинами для треугольников, один угол которых находится в диапазоне от 10° до 80°. Обратите внимание на то, что для каждого треугольника указан только один угол. Указывать значение других углов не имеет смысла, т. к. второй угол всегда составляет 90°, а третий определяется согласно описанной ранее теореме, с помощью вычитания из 180° суммы двух других заданных углов. Таким образом, даже не имеет смысла рисовать треугольники: значения одного угла достаточно. Поэтому в первом столбце тригонометрических таблиц, как правило, указывается только один угол. Так, косинус 10° равен 0,9848, а тангенс 50° составляет 1,1918.
Конечно же, представленная таблица не является полной. Всегда можно продолжить ее, указав более точные значения тригонометрических величин либо добавив значений для углов, не представленных в текущей редакции. В этой таблице перечислены треугольники с углами в диапазоне от 10° до 80°, но было бы лучше указать точные значения для всех возможных углов, вплоть до десятых градуса. Уточнять тригонометрические таблицы можно было до бесконечности, чем последовательно занимались математики. Так было вплоть до XX в., когда изобрели калькуляторы, что существенно упростило расчеты.
Древние греки, вероятно, стали первыми, кто начал составлять тригонометрические таблицы. Самое раннее сохранившееся свидетельство – «Альмагест» Птолемея, в котором содержатся исследования Гиппарха Никейского – математика, жившего во II в. до н. э. В конце V в. н. э. индийский ученый Ариабхата также опубликовал свои тригонометрические таблицы. В Средние века в Персии Омар Хайям в XI в. и аль-Каши в XIV в. также составили одни из наиболее известных тригонометрических таблиц своего времени.
Ученые арабского мира продвинутся дальше всех не только в составлении наиболее точных таблиц, но и научатся эффективно применять на практике полученные данные.
Аль-Каши опубликовал в 1427 г. книгу под названием «Мифтах аль-Хисаб», или «Ключ к арифметике», в котором приводит результат, обобщающий теорему Пифагора. Благодаря расчетам косинуса аль-Каши удается применить эту теорему не только к прямоугольным треугольникам, но и к любым другим. Теорема аль-Каши работает, дополняя теорему Пифагора: если треугольник не прямоугольный, то сумма квадратов катетов не равна квадрату гипотенузы. Однако это равенство будет верным при условии добавления корректирующего коэффициента, который рассчитывается непосредственно из косинуса угла, образуемого этими двумя сторонами.
Когда аль-Каши опубликовал эту работу, он уже был известным математиком. Прославился он тремя годами ранее после вычисления приближенного значения числа π до шестого знака после запятой – максимально точное значение для той эпохи! В то время как рекорды могут быть побиты,
[11] теоремы сохраняют свою силу вне зависимости от времени. Теорема аль-Каши и по сей день остается одной из самых важных в области тригонометрии.
Перенесемся на левый берег Парижа. На дворе стоит июнь, и я, можно сказать, выступаю в роли экскурсовода. Сегодня с группой, состоящей человек из двадцати, я прогуливаюсь по улицам Латинского квартала по следам исторического развития математики. Наша следующая остановка будет в Саду великих исследователей. В северной его части расположены симметричные аллеи Люксембургского сада, массивными рядами ведущие ко дворцу Сената. В южной части возвышается купол Парижской обсерватории.
