В Багдаде аль-Хорезми был известен прежде всего как астроном. Он написал несколько теоретических работ, в основе которых лежали открытия, сделанные в Древней Греции и Индии, а также практические книги по использованию солнечных часов и изготовлению астролябии. Он также использовал свои знания для составления таблиц, в которых записывали широту и долготу важнейших географических точек. Вдохновленный Птолемеем, в качестве нулевого аль-Хорезми выбрал меридиан, проходящий через мифологические Счастливые острова в западной части мира, положение которых приблизительно соответствует Канарам.
В математике аль-Хорезми оставил свой след как автор знаменитой «Книги об индийском счете», в которой описывалась позиционная десятичная система исчисления. Одной этой работы было бы достаточно, чтобы войти в пантеон величайших математиков; однако он написал еще одну революционного книгу, благодаря которой безоговорочно обеспечил себе место среди величайших математиков истории, наряду с Архимедом или Брахмагуптой.
Эту книгу ему заказал лично Абдуллах аль-Мамун. Халиф хотел, чтобы у его подданных была книга, которая помогала бы решать задачи, возникающие у них в повседневной жизни. Аль-Хорезми начал составлять список таких проблем, сопровождая их методами решения. В его книге описаны многочисленные вопросы измерения земель, порядок коммерческих сделок, а также распределения наследства между членами семьи.
Решение описанных проблем, хотя и имело большой интерес, не носило прорывной характер, и, если бы аль-Хорезми не писал эту книгу по заказу халифа, она, вероятно, не сохранилась бы в истории. Поэтому персидский ученый решил не останавливаться на достигнутом и добавить в предисловие к книге теоретическую часть. Аль-Хорезми приводит в ней структурированные и абстрактные методы решения, которые могут быть применены для решения конкретных задач.
Книга аль-Хорезми получила название «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала», или «Краткая книга восполнения и противопоставления». Когда позднее ее перевели на латинский язык, последние слова арабского названия были транслитерированы, и книга была названа «Либер Алгебре Альмукабола» (Liber Algebræ et Almucabola). Постепенно часть термина Альмукабола была редуцирована, и осталось только одно слово, которое с тех пор обозначало дисциплину, основоположником которой был аль-Хорезми: «аль-джабр» (al-jabr), «алгебре» (algebræ), «алгебра».
В этой книге особенно ценны даже не конкретные математические примеры, а скорее используемые методы и формулировки, которые по праву могут быть названы революционными. Автор рассматривал методы решения задач безотносительно конкретных частных случаев. Чтобы понять, о чем идет речь, давайте рассмотрим следующие три задачи.
1. Ширина прямоугольного поля равна 5 единицам, а площадь – 30. Какова его длина?
2. 30-летний мужчина в 5 раз старше своего сына. Сколько лет его сыну?
3. Торговец купил 30 кг ткани в 5 равных рулонах. Сколько весит один рулон?
Во всех трех случаях ответ будет 6. Мы легко можем решить эти задачи, хотя речь в них идет о разных предметах, с точки зрения математики способ расчета тот же. Во всех трех случаях результат получается путем деления: 30 ÷ 5 = 6. Первый шаг аль-Хорезми заключался в том, что он стал рассматривать данные задачи с чисто математической точки зрения:
Найдем число, которое при умножении на 5 дает 30.
В такой формулировке нам неизвестно, что скрывается за числами 5 и 30. Это могут быть как геометрические параметры, возраст или рулоны ткани, так и что угодно еще! Это не влияет на решение поставленного вопроса. Задача алгебры – предложить методы решения математических задач, сформулированных в общем виде. Эти задачи через несколько столетий получат в Европе название «уравнения».
Аль-Хорезми идет еще дальше в изучении уравнений. Он утверждает также, что методика расчета не зависит и от самого значения исходных чисел. Рассмотрим три уравнения, представленных ниже.
1. Найдем число, которое при умножении на 5 дает 30.
2. Найдем число, которое при умножении на 2 дает 16.
3. Найдем число, которое при умножении на 3 дает 60.
В каждом из этих уравнений уже скрывается множество различных конкретных задач. Но еще раз обратим внимание на то, что для их решения станет применяться один и тот же метод. Во всех трех случаях решение будет находиться путем деления второго числа на первое: в первом примере 30 ÷ 5 = 6; во втором 16 ÷ 2 = 8 и в третьем 60 ÷ 3 = 20.
Таким образом, становится понятным, что метод решения будет одинаковым не только для любых качественных характеристик задачи, но и для ее количественных параметров.
Поэтому становится возможным формулировать уравнения еще более абстрактно:
Найдите число, которое при умножении на число 1 дает число 2.
Любые задачи с такими условиями решаются одинаково: необходимо разделить число 2 на число 1.
Конечно же, представленный пример очень прост. В условии говорится только об умножении, и для нахождения ответа достаточно использовать только деление. Но в других случаях поиск ответа может потребовать проведения и других операций. Аль-Хорезми в основном станет описывать уравнения, в которых неизвестное может быть найдено посредством проведения четырех основных операций (сложение, вычитание, умножение и деление), а также возведения во вторую степень. Например:
Найдите число, квадрат которого равен произведению этого числа и 3, увеличенному на 10.
Решение той задачи равно 5. Квадрат 5 составляет 25, что соответствует равенству 25 = 3 × 5 + 10. В этот раз нам повезло, потому что это решение представляет собой целое число и оно наверняка выведено путем определенных поисков. Но когда решением будет очень большое число или нецелое число, необходимо иметь точный метод нахождения их значений на систематической основе. Это именно то, о чем аль-Хорезми пишет в предисловии к своей книге. Он описал шаг за шагом вычисления, которые следовало выполнить исходя из данных задачи, вне зависимости от чисел. Во второй раз он приводит доказательство того, что его методы работают.
Подход аль-Хорезми прекрасно вписывается в общую тенденцию развития математики, которая стремится к абстракции и общности. Уже достаточно давно объекты исследования в математике были отделены от реальных объектов, которые они обозначают. Аль-Хорезми использовал те же самые аргументы для того, чтобы решать абстрактные задачи.
Классификация уравнений
Не все уравнения имеют простое решение. Среди них есть и такие, которые ставят в тупик даже современных математиков. Сложность уравнения определяется тем, какие операции необходимо совершить для его решения. Так, если для нахождения ответа необходимо совершить только сложение, вычитание, умножение и деление, это уравнения первой степени. Вот несколько примеров:
