К какому числу необходимо добавить 3, чтобы получилось 10?
Какое число при делении на 2 дает 15?
Какое число, если его умножить на 2, а затем вычесть из получившегося результата 10, дает 0?
Уравнения первой степени – самые простые. Немного подумав, можно вычислить решения этих трех задач соответственно: 7, т. к. 7 + 3 = 10; 30, т. к. 30 ÷ 2 = 15; 5, т. к. 5 × 2–10 = 0.
Если к этим четырем операциям добавить возведение в квадрат, иначе говоря, умножение числа на себя, то это уже будут уравнения второй степени, и их решение станет сложнее. В своей работе аль-Хорезми приводит решение именно уравнений второй степени:
Квадрат искомого числа, увеличенный на 20, равен числу, в 10 раз большему искомого.
Квадрат искомого числа, увеличенный на произведение этого числа и 10, равен 39.
Особенностью решения уравнений второй степени является то, что они могут иметь два решения. В данном случае числа 3 и 7 будут решениями первого уравнения, т. к. 3 × 3 + 21 = 3 × 10 и 7 × 7 + 21 = 7 × 10. Второе уравнение также имеет два решения: 3 и –13.
В IX в. геометрия все еще оставалась основой математики, и доказательства аль-Хорезми строились также на геометрии. Ученые Античности утверждали, что квадрат числа и умножение двух чисел можно представить в виде площади. Уравнение второй степени можно представить в геометрическом виде. Вот, например, так можно представить выше изложенные уравнения. Вопросительными знаками обозначены искомые величины.
Квадрат числа плюс 21 равен этому числу, умноженному на 10.
Квадрат числа, к которому прибавляется число в десять раз больше, равно 39.
Аль-Хорезми использовал для решения усовершенствованный метод мозаики. Он предложил отрезать, добавлять или удалять части по мере необходимости, чтобы получить фигуру, являющуюся решением. Рассмотрим, например, второе из приведенных выше уравнений и сперва разобьем прямоугольник, который в 10 раз больше искомого числа, на два, каждый из которых в 5 раз больше искомого.
Далее переставим части следующим образом:
Наконец, добавим к двум равным сторонам, фигуру площадью в 25 таким образом, чтобы сложить их вместе.
Сторона квадрата, расположенного слева, равна искомой величине, увеличенной на 5, в то время как сторона правого квадрата равна 8. Исходя из этих данных, можно сделать вывод, что искомая величина равна 3.
Обратите внимание, что описанная выше фигура имеет нестандартную форму. До того момента, когда нашли ответ 3, было невозможно определить ее форму, в связи с чем длины сторон изображались неверно. Это совершенно не важно, поскольку в данном случае значение имеют не конкретные числовые показатели, а доказательство того, что описываемый метод применим в любой аналогичной ситуации, вне зависимости от показателей, присутствующих в уравнении. Согласно одному из определений, геометрия – это искусство идеального рассуждения о неидеальных фигурах. И вот прекрасный тому пример! Заметим, однако, что найденная с помощью этого метода неизвестная величина является длиной, то есть положительным числом, что, таким образом, приводит к упущению еще одного, отрицательного, решения. Это уравнение имеет еще одно решение, равное –13, и аль-Хорезми упускает его в своих рассуждениях.
После уравнений второй степени идут уравнения третьей степени. В этот раз неизвестная величина возводится в куб. Эти уравнения еще сложнее для аль-Хорезми – и способ их решения будет сформулирован только в эпоху Ренессанса. С точки зрения геометрии данный вопрос можно изложить в категориях объема и трех измерений.
Далее идут уравнения четвертой степени. С точки зрения чисел сложностей в их решении нет. С геометрической же точки зрения становится затруднительно представить себе фигуры в четырех измерениях, т. к. мы живем в трехмерном пространстве.
Возможности алгебры разрешать проблемы, которые априори недоступны для геометрии, в значительной степени определили сдвиг, который произошел в эпоху Возрождения, в связи с чем пальма первенства в мире математики перешла от геометрии к алгебре.
В конце IX в. египетский математик Абу Камиль стал одним из ведущих преемников аль-Хорезми. Он обобщил методы персидского ученого и особенно уделил внимание системам уравнений. Эти системы предполагали одновременный поиск нескольких неизвестных исходя из нескольких заданных уравнений. Вот классический пример.
Стадо состоит из одногорбых и двугорбых верблюдов. Всего у животных в стаде 100 голов и 130 ног. Сколько животных каждого вида в стаде?
В данной задаче есть два неизвестных: количество верблюдов одного и другого вида, – и информация о них дана совокупно. Количество голов и горбов позволяют нам составить два уравнения, но их невозможно решить отдельно друг от друга: необходимо объединить их для поиска решения задачи.
Есть несколько методов решения этой задачи. Логика рассуждений следующая. Поскольку в стаде 100 голов, у 100 животных есть хотя бы по одному горбу. Так как в стаде есть только двугорбые и одногорбые верблюды, то у 30 из них будет два горба (130–100), а одногорбыми будут, соответственно, 70 верблюдов (100–30). В данном примере есть только одно правильное решение. В других же системах уравнений их может быть значительно больше. Так, в одном из приводимых примеров Абу Камиль находит 2676 различных решений!
В X в. аль-Караджи был первым, кто написал о том, что можно составить уравнения любой степени, но ему удалось описать решение далеко не всех из них. В XI–XII вв. Омар Хайям и Шарафуддин ат-Туси занимались изучением решения уравнений третьей степени. Им удалось решить отдельные примеры и в целом достичь определенных успехов, но вместе с тем еще не получилось сформулировать обобщенное решение. Некоторые математики также пытались найти решение, и возникло предположение, что, возможно, такие уравнения вообще его не имеют.
