Золотое сечение встречается, таким образом, в любых геометрических фигурах, где есть правильные пятиугольники. Например, в рассмотренных ранее жеоде или футбольном мяче. Чтобы рассчитать его точное значение алгебраическим путем, необходимо будет решить следующее уравнение второй степени.
Квадрат числа φ равен числу φ, увеличенному на 1.
Метод аль-Хорезми позволяет определить точную формулу расчета числа φ. Так, φ = (1+ √5) ÷ 2 ≈ 1,618034.
[12] Вы можете проверить, что 1,618034 × 1,618034 ≈ 2,618034.
Но какое к этому имеет отношение ряд Фибоначчи?
Если достаточно долго анализировать увеличение популяции кроликов, можно обратить внимание, что каждый раз она увеличивается приблизительно в φ раз! Посмотрим, например, на 6-й и 7-й месяцы. Количество кроликов в популяции равно 8 и 13, соответственно, 13 ÷ 8 = 1,625. Полученное значение приблизительно равняется золотому сечению. Если же мы возьмем в качестве примера 11 и 12 числа из ряда, то получим следующую пропорцию: 144 ÷ 89 = 1,61797… Это число уже более точно соответствует числу φ. Можно продолжить эти расчеты. Чем дальше, тем коэффициент разницы последующего и предыдущего члена будет точнее соответствовать золотому сечению!
В очередной раз констатация факта породила многочисленные дискуссии. Почему? Как так получается, что это незамысловатое число встречается в трех различных направлениях математики: геометрии, алгебре и теории рядов? На первый взгляд, можно было бы предположить, что эти числа приблизительно равны, но не соответствуют друг другу. Однако они точны настолько, что, рассчитывая отношение диагонали к стороне пятиугольника (1+√5) ÷ 2, и отношение каждого последующего числа к предыдущему в ряду Фибоначчи, в каждом из случаев будет получаться одинаковый результат.
Для того чтобы разгадать эту тайну, математики пытались приводить междисциплинарные доказательства, используя одновременно знания из различных областей математики. Такое явление встречалось раньше, когда в эпоху Античности числа представлялись в геометрической форме, что, тем самым, сближало геометрию и алгебру. В дальнейшем такой подход распространился и на другие направления математики. Ряд дисциплин, которые ранее казались не связанными друг с другом, стали использоваться совместно. Такие числа, как φ, помимо прочего, сыграли существенную роль в процессе сближения смежных математических дисциплин. Во времена Фибоначчи число π применяли не только в геометрии.
Изучение рядов чисел также помогает иначе посмотреть на парадоксы Зенона Элейского, в частности парадокс Ахиллеса и черепахи. Давайте вспомним пример древнегреческого ученого, когда черепаха начинает забег с Ахиллесом с форой в сто метров, при этом Ахиллес бежит со скоростью в два раза быстрее. В этой ситуации парадокс заключался в том, что, несмотря на медлительность черепахи, Ахиллес ее никогда не сможет догнать.
Такой вывод сделан в результате мысленного разделения гонки на бесконечное количество частей. К тому моменту, когда Ахиллес достигает начальную точку, на которой находилась черепаха, она будет уже в 50 метров дальше. Когда Ахиллес преодолеет следующие 50 метров, черепаха окажется в 25 метрах впереди и так далее. Каждый раз расстояние между ними станет сокращаться вдвое.
100 50 25 12,5 6,25 3,125 1,5625…
Если продолжать этот ряд, то можно ошибочно предположить, что Ахиллес никогда не догонит черепаху. Однако, если рассчитать сумму этой последовательности чисел, то можно найти результат, который будет конечным.
100 + 50 + 25 + 12,5 + 6,25 + 3,125 + 1,5625 +…= 200.
Это одно из удивительных свойств рядов чисел: сумма бесконечного количества чисел может быть конечной! Результат, полученный выше, доказывает, что Ахиллес догонит черепаху, пробежав 200 метров.
[13]
Расчет таких бесконечных рядов имеет большое прикладное значение для расчета чисел из области геометрии, таких, как, например, π, или тригонометрических величин. В том случае, если их нельзя вычислить с помощью стандартных операций, можно рассчитать суммы рядов чисел. Одним из первых, кто предложил такой метод вычисления, был индийский математик Мадхава из Сангамаграмы, который вывел около 1500 г. формулу для числа π:
В ряду Мадхавы присутствуют как положительные, так и отрицательные числа, рассчитываемые как отношения 4 и последовательных нечетных чисел. Не стоит, однако, думать, что такой подход окончательно решил вопрос вычисления числа π. После того как данная сумма составлена, все еще требуется вычислить ее. Но если сумму некоторых из рядов чисел, таких как в примере с Ахиллесом и черепахой, можно легко рассчитать, в других случаях это весьма затруднительно, о чем рассуждает Мадхава.
Короче говоря, эта бесконечная сумма на самом деле не позволит рассчитать точное значение числа π, а всего лишь позволяет обеспечить более точное приближение.
Поскольку мы не можем сложить все числа из бесконечного ряда, можно ограничиться определением суммы конечного числа чисел. Таким образом, если сложить первые пять чисел из ряда, мы получим 3,34.
Это недостаточно точное приближение, но можно продолжать сложение чисел из ряда. Если мы возьмем первые сто чисел, получится 3,13, а если миллион, то 3,141592.
Разумеется, не очень удобно складывать миллион чисел, чтобы получить приближенное значение всего с шестью знаками после запятой. Ряд Мадхавы оказался неудачным способом для вычисления числа π, т. к. требовалось сложить слишком много его чисел. В дальнейшем другие математики, такие как швейцарец Леонард Эйлер в XVIII в., а также индийский ученый Сриниваса Рамануджан Айенгор в XX в. открыли ряд других рядов чисел, сумма которых равна π, но со значительно меньшим количеством чисел. Эти методы постепенно вытеснили метод Архимеда и позволили рассчитывать более точные значения с большим количеством знаков после запятой.
