Применимость – это, разумеется самый очевидный фактор. Возможность использовать результат проведенной работы – это первоочередной критерий с математической точки зрения. Числа полезны, так как и их помощью можно считать и осуществлять торговлю. Геометрия позволяет измерять различные величины. С помощью алгебры можно решать проблемы повседневной жизни.
Красота – это менее конкретная характеристика. Как математическая теория может быть красивой? Это еще можно понять в отношении геометрии, где определенные фигуры могут быть визуально оценены как произведения искусства. В качестве примера можно привести орнаменты из Месопотамии, Платоновы тела или мощение Альгамбры. Но в алгебре? Может ли алгебраическая структура в самом деле быть красивой?
Долгое время я считал, что понимание элегантности и поэзии математических объектов – это привилегия немногих специалистов, истинных ценителей, которые провели достаточно времени за изучением различных теорий и со зрелым пониманием вопроса могли бы поистине насладиться красотой математики. Я заблуждался и уже совсем скоро смог убедиться, что даже новички и очень маленькие дети могут осознать это чувство элегантности.
С одним очень ярким примером я однажды столкнулся на занятиях первоклассников. Детям в классе было около семи лет. Им необходимо требовалось распределить треугольники, квадраты, прямоугольники, пятиугольники, шестиугольники и фигуры других форм в соответствии с заданными критериями. Детям предложили подсчитывают число сторон и число вершин этих фигур. У треугольников было три стороны и три вершины, у квадратов и прямоугольников – четыре стороны и четыре вершины и так далее. При составлении этого списка дети быстро заметили теорему: многоугольник имеет равное количество сторон и вершин.
На следующей неделе для анализа были выбраны фигуры более причудливой формы, в том числе приведенный ниже пример.
Возникает вопрос: сколько сторон и сколько вершин у этой фигуры? Большинство в классе говорят, что четыре стороны и три вершины. Развернутый угол на рисунке выше не формирует вершины. Он не острый. Это вообще скорее впадина, чем вершина. Таким образом, в отношении этого вогнутого угла неприменимо утверждение о свойстве сторон и вершин многоугольников, описанное выше. Попросить их назвать эту точку значит заставить дать название новому явлению! Какая идея! Дети начинают обсуждать этот вопрос. У учеников возникают различные идеи в отношении данной точки. Нужно ли давать ей другое имя? Следует ли вообще об этом задумываться? Приводятся аргументы как за, так и против, но в целом, похоже, не удается собрать большинство.
И вдруг один их первоклассников вспоминает теорему. Если это не вершина, то мы больше не можем утверждать, что любой многоугольник имеет одинаковое количество сторон и вершин. К моему удивлению, именно этот аргумент объединяет класс. Уже через мгновение все были согласны: необходимо считать эту точку вершиной. Эта теорема достаточно проста и наглядна, но и она, к сожалению, имеет свои исключения. Так я стал свидетелем того, что даже маленькие дети понимают красоту математических теорем.
Исключения из общего правила – это всегда некрасиво. Они не могут не раздражать. Чем закономерность более простая и применимая, тем большее впечатление она производит. Красота математики может выражаться по-разному, но в целом может быть сведена к простоте в формулировках в отношении сложных явлений. Красивая теория – это теория, простая в описании, не имеющая отклонений, исключений, спорных моментов и лишенная избыточных деталей. Это теория, имеющая обширное применение, которая при этом может быть изложена кратко, что и делает ее безупречной.
Пример с многоугольниками весьма примитивен, но, развиваясь, новые теории становятся еще красивее, сохраняя при этом закономерности, которые могут быть сведены к нескольким простым принципам. Удивительно и то, что новые теории еще более стройны и закономерны, чем появившиеся в эпоху Античности, что противоречит логичному предположению обратного. Мнимые числа – яркий тому пример.
Помните уравнения второй степени? Решая их способом аль-Хорезми, можно было отыскать два решения, одно решение либо прийти выводу, что уравнение не имеет решений. Все это будет верным, если не брать в расчет мнимые числа. В противном случае любое уравнение второй степени будет иметь два решения! Когда аль-Хорезми утверждал, что уравнение не имеет решений, это было верно, так как в его системе, ограниченной только действительными числами, ответа не имелось. Два решения такого уравнения находятся во множестве мнимых чисел.
Дальше больше. Благодаря открытию мнимых чисел любое уравнение третьей степени имеет три решения, четвертой степени – четыре решения и т. д. Таким образом, количество решений уравнения равно степени этого уравнения. Это открытие сделал немецкий математик Карл Фридрих Гаусс в XVIII в. и привел соответствующее доказательство в начале XIX в. Эту теорему назвали основной теоремой алгебры.
Более чем 1000 лет после того, как аль-Хорезми написал свою работу, после всех неудач в решении уравнений третьей степени, после того, как решение уравнений четвертой степени было немыслимо, т. к. не могло быть представлено в геометрической форме, в конечном счете было сформулировано элементарное правило, состоящее из шести слов: количество решений уравнения равно его степени.
Это одно из следствий открытия мнимых чисел. Не только решение уравнений усовершенствовалось после их появления. После того как начинают использоваться мнимые числа, ряд теорем в одночасье становится более красивыми и лаконичными. Это в целом открыло новые возможности для развития математики. Бомбелли, вероятно, не сомневался, что, открыв комплексные числа, он, тем самым, предоставил математикам будущих поколений огромное поле для исследований.
Математики исследуют свойства новых алгебраических структур, которые появились в XIX в. Общие правила, правила симметрии, аналогии, результаты, которые развиваются и совершенствуются. Небольшая теория, которую мы сформулировали чуть ранее, вряд ли будет соответствовать этим критериям, чтобы стать интересной. В этой теории нет строгих закономерностей, и каждый случай индивидуален. Нет ни общих правил равенства, ни принципов производимых действий. Ну что ж, ничего не поделаешь.
Среди наиболее известных имен современной алгебры можно выделить французского ученого Эвариста Галуа, гения, который погиб в 1832 г. во время дуэли в возрасте всего 21 года. За такую короткую жизнь он смог внести свой вклад в историю развития уравнений. Галуа удалось доказать, что, начиная с уравнений пятой степени, их решение не может быть рассчитано по формулам, аналогичным тем, что вывели аль-Хорезми или Кардано – с использованием только четырех операций, возведения в степень и вычисления корня. Для того чтобы доказать это, он специально создал новые алгебраические структуры, которые до сих пор изучаются и известны как группы Галуа.
Но вот кто, пожалуй, достиг наивысшего успеха в получении алгебраических результатов, пользуясь небольшим числом простейших аксиом, – так это немецкий математик Эмми Нётер. С 1907 г. до своей смерти в 1935-м Нётер опубликовала около пятидесяти статей по алгебре, и некоторые стали настоящим прорывом из-за используемых автором алгебраических структур и теорем. Она главным образом занималась изучением колец, полей и алгебр,
[15] т. е. структур, связанных, соответственно, тремя, четырьмя или пятью действиями с соответствующими свойствами.
