Так, книги аль-Хорезми и алгебраистов Багдада были полностью написаны на арабском языке без использования символов. Если в то время для описания действия было необходимо несколько страниц, то сейчас обходятся несколькими строками. Помните уравнение второй степени, описанное в книге «аль-джабр»:
Квадрат неизвестного числа плюс двадцать один равен числу, в десять раз больше неизвестного.
Аль-Хорезми описывал решение этого уравнения следующим образом.
Квадраты и числа равны корням; например, «сумма квадрата числа и двадцати одного равна десяти квадратным корням этого квадрата». То есть чему должен быть равен квадрат числа, для того чтобы в сумме с двадцатью одним дирхамом он был равен десяти корням квадрата этого числа? Решение: возьмем половину числа корней, т. е. пять. Умножим это число на себя – получим двадцать пять. Вычтем из получившегося результата двадцать один – остается четыре. Извлечем из результата корень – получится два. Вычтем два от половины корней, что составляет пять, – получается три. Это корень, квадрат которого равен девяти. Можно также прибавить корень к половине корней – сумма будет равна семи; это корень искомого квадрата, а его квадрат равен сорока девяти.
Этот текст в наше время покажется очень косноязычным даже студентам, которые изучают данный вопрос. Уравнение имеет два решения: 9 и 49.
Риторическая алгебра, как ее окрестили впоследствии, не только слишком громоздка в описании, но и неоднозначна с точки зрения формулировок, которые могут быть истолкованы различным образом. Учитывая сложность аргументации и доказательств, эта форма изложения становится крайне неудобной для использования.
К этим сложностям математики иногда добавляют дополнительные. Например, многие математические работы того времени написаны в стихах. Это явление зачастую было связано с тем, что математические факты заучивались наизусть, а в стихотворной форме это сделать проще. Когда Тарталья передал свой метод решения уравнений третьей степени Кардано, тот опубликовал его на итальянском и александрийском языках. Разумеется, доказательство, написанное в стихотворной форме, становится более сложным для восприятия, в связи с чем есть мнение, что Тарталья целенаправленно писал доказательство в такой форме, чтобы его было сложнее понять. Вот перевод отрывка его работы.
Если известно, что куб и значения
Равны по количеству между собой,
Возьмем еще два других, отличных от них.
Затем получаем, что
Их производная равна
Кубу трети значения.
Затем, вычислив
Их кубический корень,
Вы найдете значение.
Очень замысловато написано, не правда ли? Тарталья называет значением неизвестную, искомую величину. Присутствие слова «куб» в этом отрывке четко указывает на то, что речь идет о кубическом уравнении. Сам Кардано с трудом разобрал смысл содержания этого отрывка.
Чтобы упросить восприятие своих работ, математики постепенно начали упрощать алгебраический язык. Этот процесс начался в Западной части мусульманского мира в эпоху позднего Средневековья и особенно активно набрал обороты в Европе в период XV–XVI вв.
Впервые в истории в математике появились специальные слова. Так, уэльский математик Роберт Рекорд предложил в середине XVI в. термины для обозначения степеней неизвестных чисел, основанные на системе префиксов, которые могут добавляться до бесконечности. Квадрат неизвестного, например, назывался зензике (zenzike), шестая степень – зензикубике (zenzicubike), восьмая степень – зензизензизензике (zenzizenzizenzike).
А затем постепенно распространились символы, которые так хорошо знакомы всем нам сегодня.
Приблизительно в 1460 г. немецкий ученый Иоганн Видман впервые начал использовать знаки + и – для обозначения сложения и вычитания. В начале XVI в. Тарталья был одним из первых, кто начал использовать круглые скобки () в своих расчетах. В 1557 г. английский ученый Роберт Рекорд впервые использовал знак = для обозначения равенства. В 1608 г. голландский ученый Рудольф Снеллиус стал использовать запятую для разделения целой и дробной частей числа. В 1621 г. английский ученый Томас Хэрриот ввел знаки < > для обозначения соотношения двух чисел (больше/меньше).
В 1631 г. английский ученый Уильям Отред начал использовать значок × для умножения, а в 1647 г. первым обозначил знаменитую постоянную величину, открытую Архимедом, как π. Немецкий математик Иоганн Ран в 1659 г. впервые использовал ÷ для обозначения деления. В 1525 г. немецкий ученый Кристоф Рудольф ввел в обиход знак квадратного корня √, который в 1647 г. был дополнен горизонтальной полосой французским математиком Рене Декартом: √.
Конечно же, все это происходило не так последовательно и упорядоченно, как описано выше. В течение этого времени много других символов появлялось и исчезало. Некоторые из них использовались только один раз, другие – более активно. Между моментом, когда знак использовался впервые и его окончательным принятием всем математическим сообществом, зачастую проходили десятилетия. Так, даже спустя столетие после первого использования, + и – не стали универсальными знаками и многие математики продолжали использовать буквы P и M, инициалы латинских слов плюс (plus) и минус (minus), для обозначения сложения и вычитания.
И какова же роль Виета в этом? Деятельность французского ученого стала катализатором всеобщего принятия новой системы знаков. Написав «Исагогику», он тем самым начал обширную программу модернизации алгебры и заложил основу для использования букв алфавита в вычислениях. Его предложение гениально в своей простоте: обозначать неизвестные величины в уравнениях гласными, а известные числа – согласными.
Однако Рене Декарт впоследствии предложил иную систему: первые буквы латинского алфавита (a, b, c…) для обозначения известных величин и последние буквы (x, y и z) – для обозначения неизвестных. Этот подход используется сегодня большинством математиков, а буква «х» стала всеобщим обозначением чего-то неизвестного и таинственного.
Для того чтобы понять, как изменилась алгебра после появления всеобщего языка математики, рассмотрим уравнение:
Найдите число, которое при умножении на 5 дает 30.
В новой системе символов это будет записываться как: 5 × x = 30.
Обратите внимание, насколько короче запись! Это уравнение пример более широкой группы:
Найдите число, которое при умножении на число 1 дает число 2.
Это уравнение будет иметь вид: a × x = b.
Числа a и b взяты в начале алфавита, что, как мы знаем, означает, что это известные величины, зная которые, мы сможем вычислить х. И, как мы уже видели, уравнение этого типа решается путем деления второго известного члена на первый, другими словами: х = b ÷ a.
С этого момента математики начинают классифицировать уравнения по их типам и устанавливают правила для решения уравнений с буквенными обозначениями. Алгебра постепенно превращается в форму игры с собственными правилами. Решение нашего уравнения находится следующим образом: переходя из a × x = b в x = b ÷ a, буква a переходит с левой стороны от знака = направо, и умножение заменяется делением. Это одно из сформулированных правил: умножение можно заменить делением в другой части уравнения. Аналогичные правила применяются для сложения и вычитания, а также возведения в степень. Цель остается прежней: отыскать значение х.
