Возьмем в качестве еще одного примера самую известную из всех формул: E = mc2. Это равенство, сформулированное Альбертом Эйнштейном, соотносит массу и энергию физических объектов. Здесь не будет приводиться доказательство этой формулы, так как сейчас у нас стоит другая цель. Но только задумайтесь: принцип функционирования нашей Вселенной, который, как правило, считается одним из самых захватывающих и непостижимых, выражается алгебраической формулой, состоящей всего из пяти символов! Какое чудо! Как правило, в этой ситуации вспоминают фразу Эйнштейна, которая подходит к подобным ситуациям: «Самое непостижимое в этом мире – это то, что он постижим». Остается домыслить, что постижим он с помощью математики. В 1960 г. физик Юджин Вигнер сформулировал это как «непостижимую эффективность математики».
Наконец, так ли хорошо мы знаем эти абстрактные объекты, цифры, фигуры, ряды и формулы, которые, как нам кажется, мы создали? Если математика действительно плод деятельности нашего мозга, зачем же мы тогда ищем ее проявления за пределами нашей головы? Откуда они берутся в окружающем нас мире? В самом ли деле они там есть? Или то, что мы видим, – это не более чем гигантская оптическая иллюзия? Представить себе, что математические объекты существуют вне человеческого разума, было бы равносильно тому, чтобы признать их реальными, даже если они являются чистой абстракцией. Что в таком случае вообще означает глагол «быть», если мы применяем его к бестелесным объектам?
Не надейтесь, что я смогу ответить хотя бы на один их этих вопросов.
14
Бесконечно малые величины
Тесная зависимость математики с физикой недолго оставалась уникальным явлением. Начиная с XVII в. эти две дисциплины постоянно обмениваются идеями, обогащая друг друга. Поскольку физика основывается на формулах, каждое новое открытие требует математического подтверждения. Существуют ли уже соответствующие формулы или их еще предстоит изобрести? В последнем случае перед математиками встает задача создать новые теории на заказ. Так физика становится для них одним из самых главных источников вдохновения.
Развитие ньютоновской теории гравитации стало одним из первых катализаторов развития инновационной математики. Чтобы понять это, вернемся к следу кометы Галлея. Знать силу, которая притягивает ее к Солнцу, это уже что-то, но как, исходя из этой информации, вычислить ее траекторию и другую полезную информацию, такую, как, например, ее положение в конкретную дату или точный период обращения?
Один из классических вопросов, на которые предстоит ответить, – это, в частности, определение пройденного расстояния в зависимости от скорости. Если я скажу вам, что скорость перемещения кометы в пространстве равна 2000 метров в секунду, и спрошу, какое расстояние она пройдет за одну минуту, найти ответ будет достаточно просто. За одну минуту комета пройдет 60 раз по 2000 метров, то есть 120 000 м, или 120 км. Проблема заключается в том, что в реальности все намного сложнее. Скорость кометы не постоянная, а меняется с течением времени. На своем афелии, то есть в самой дальней точке от Солнца, она составляет 800 метров в секунду, в то время как в перигелии, ближе всего к Солнцу, она составляет 50 000 метров в секунду. Большая разница!
И вся сложность заключается в том, что между этими двумя крайностями комета не разгоняется постепенно и никогда не движется на одной скорости. В определенный момент комета движется со скоростью 2000 метров в секунду, но она не постоянна. Мгновение до скорость была немного больше, скажем, 2000,001 метра в секунду и уже через долю секунды после она уже равна 1999,999 метра в секунду. Невозможно найти такой промежуток времени, даже самый крошечный, в котором комета сохраняет постоянную скорость! Как при таких условиях точно рассчитать расстояние, которое она пройдет?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, математики прибегают к методу, который странным образом напоминает способ, использовавшийся две тысячи лет назад Архимедом для вычисления числа π. Подобно тому как ученый из Сиракуз сопоставлял круг и многоугольники с большим количеством сторон, можно приблизительно рассчитать траекторию движения кометы, разбив ее путь на все более и более короткие промежутки. Можно, например, предположить, что комета поддерживает постоянную скорость 800 метров в секунду определенный интервал времени, а затем начинает двигаться на скорости 900 метров в секунду еще один интервал времени и так далее. Траектория, рассчитанная таким образом, не будет точной, но может рассматриваться как приближенная. Для того чтобы увеличить точность расчетов, достаточно взять за основу более короткие интервалы. Вместо того чтобы рассматривать интервалы 100 метров в секунду, можно сократить их до 10,1 или даже 0,1 метра в секунду. Чем более мелкие отрезки скорости будут выбраны для расчетов, тем полученная траектория окажется ближе к фактической траектории кометы!
Последовательность приближенных расстояний, пройденных кометой от афелия до перигелия, может выглядеть следующим образом:
47 42 40 39 38,6 38,52 38,46 38,453…
Эти числа приведены в астрономических единицах.
[18] Другими словами, если мы предположим, что скорость кометы остается неизменной в интервале 100 метров в секунду, расстояние между афелием и перигелием будет равняться 47 астрономическим единицам. Этот результат, разумеется, является грубым приближением. Если уточнить интервал до 10 метров в секунду, искомое расстояние будет равно 42 астрономическим единицам. Отрезки, на которых происходит изменение скорости, сокращаются все больше и больше, расстояние приближается к 38,45 астрономическим единицам. Это предельное значение соответствует фактическому расстоянию, которое проходит комета между двумя крайними точками своего пути.
В некотором смысле этот результат можно назвать полученным с помощью разделения траектории кометы на бесконечное число бесконечно малых интервалов. Данный подход аналогичен методу Архимеда, по которому можно рассчитать число π, представив круг как многоугольник с бесконечным числом бесконечно малых сторон! Проблема этих двух утверждений в определении бесконечности. Этот термин знаком нам еще из рассуждений Зенона, в которых неоднозначное и опасное понятие бесконечности приводило к балансированию на грани парадокса.
Таким образом, есть два варианта: либо полностью отказаться от использования понятия бесконечности, кропотливо изучать проблемы ньютоновской физики с помощью рядов предельных приближений, либо собрать всю волю в кулак и осторожно погрузиться в болото бесконечно малых интервалов. Именно по этому пути пошел Ньютон в «Математических началах натуральной философии». Этого же подхода будет придерживаться немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц, который независимо от Ньютона сделал аналогичное открытие, а также доработал некоторые понятия, требовавшие уточнений в рассуждениях Ньютона. Из этих исследований будет рождаться новая отрасль математики, которая получит название «исчисление бесконечно малых величин».
