Кроме теории вероятности, треугольник Паскаля будет также применим в других областях математики. Числовые ряды треугольника, например, очень полезны в алгебре для решения некоторых уравнений. Можно также найти в этом треугольнике некоторые последовательности, например треугольные числа (1, 3, 6, 10…) на его диагоналях или последовательность Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8…), получаемую в результате сложения чисел, расположенных на параллельных наклонных линиях.
Последовательность треугольных чисел в треугольнике Паскаля
Числа Фибоначчи в треугольнике Паскаля
В последующие века в рамках теории вероятности были разработаны более точные и эффективные методы оценки вероятностей. Вскоре в теории вероятности успешно начало применяться исчисление бесконечно малых величин. Многие случайные явления, влияющие на будущее, могут иметь бесконечно малые вариации. В метеорологической модели, например, непрерывно изменяется температура. Так же как и отрезок имеет длину, в то время как составляющие его точки – нет, некоторые потенциальные события могут случиться, но вместе с тем не каждый возможный вариант, который вошел в выборку возможных вариантов, наступит. Вероятность того, что через неделю температура будет равна ровно 23,41 градуса или составлять любую другую точную величину, приблизительно равна 0. Однако вероятность того, что температура будет находиться в интервале от 0° до 40°, в самом деле большая!
Еще одной задачей в рамках исследований теории вероятности было изучение поведения случайных систем, способных модифицировать самих себя. Монета сохраняет свои свойства, даже если подкинуть ее тысячу раз, но во многих реальных ситуациях не все так просто. В 1930 г. венгерский математик Дьёрдь Пойа опубликовал статью, в которой анализировал скорость распространения эпидемии. Особенность предложенной им модели заключается в том, что эпидемия распространяется быстрее, когда многие люди уже заражены.
Если в вашем окружении много зараженных людей, вероятность того, что вы заболеете, будет выше. И если вы заболели, то вы сами уже повышаете риск заразиться для людей вокруг вас. Короче говоря, данное явление усиливает само себя, и вероятности постоянно меняются. Этот феномен принято называть усиленная случайность.
Процессы с усиленной случайностью часто используются сегодня в различных ситуациях. Одна из самых эффективных областей применения – это анализ динамики изменения численности популяции. Возьмем для примера популяцию животных, эволюцию биологических или генетических признаков которых вы хотите проследить в течение нескольких поколений. Представьте, например, что 60 % людей имеют темные глаза и 40 % – голубые. Таким образом, с генетической точки зрения вероятность рождения детей с темными глазами будет равна 60 %, а с голубыми – 40 %. Изменение цвета глаз имеет аналогичное свойство, как и распространение эпидемии: чем больше в этой группе людей с одним цветом глаз, тем выше шансы того, что родится ребенок именно с таким цветом глаз. Процесс сам себя усиливает.
Таким образом, модель Пойа позволяет спрогнозировать вероятность развития различных биологических характеристик вида. Некоторые из них могут в итоге исчезнуть. Другие, наоборот, – распространиться на всю популяцию. Третьи равномерно распределиться с небольшими изменениями в течение нескольких поколений. Невозможно предсказать заранее, по какому из этих сценариев будет происходить развитие, но, как и в игре орел и решка, можно оценить шансы в долгосрочной перспективе и спрогнозировать наиболее вероятную динамику изменений.
В 1985 г., когда Дьёрдь Пойа умер, мне едва исполнился один год. Таким образом, можно сказать, что несколько месяцев своей жизни я был современником ученого, основавшего теорию, в рамках которой я сам работаю и разрабатываю собственные теоремы.
Не вдаваясь в подробности, результаты моих исследований касаются нескольких случайных процессов, которые периодически оказывают влияние друг на друга. Представьте себе, к примеру, несколько стад одного вида, живущих отдельно на одной и той же территории; иногда некоторые животные переходят из одной группы в другую. Какие варианты развития событий возможны и как вычислить вероятность их наступления? Вот те вопросы, на которые частично отвечают мои исследования.
Да, конечно, мои теоремы весьма скромные и будет смелым шагом упомянуть их в середине этой большой истории среди многочисленных великих имен. Даже если бы я был одним их них, рассуждал я в течение четырех лет написания своей диссертации, добросовестно выполняя свою исследовательскую работу, следует признать, что мои выводы имеют небольшое значение по сравнению со многими другими более одаренными математиками, чем я. Тем не менее этого оказалось достаточно для того, чтобы 8 июня 2012 г. аттестационная комиссия присвоила мне по итогам защиты, длившейся целый час, степень доктора математических наук.
Эта церемония волнительна, так как через нее ты становишься сопричастным великой истории. Само слово «доктор» происходит от латинского слова docere – «преподавать». Доктор – это тот, кто достаточно хорошо изучил свой предмет, чтобы передавать свои знания. Начиная с позднего Средневековья в университетах, современных аналогах Мусейона в Александрии или Байт аль-Хикма в Багдаде, докторантура заняла прочное место в институциональной системе и обеспечивала ученым возможность для проведения своих исследований.
С тех пор в науке столетие за столетием происходила преемственность ученых, преподавателей и учеников, что обеспечило практически непрерывную сменяемость поколений. Забавно, но благодаря этому можно проследить происхождение научных руководителей ученых. Научным руководителем моего научного руководителя, математика Влады Лимик, был Дэвид Олдаус за несколько лет до этого. И этот ряд можно продолжить. Поднимаясь от учителя к ученику, можно проследить полную «родословную» любого математика. Посмотрите, моя родословная начинается с XVI в., и в ней более двадцати поколений!
Мой самый далекий предок – математик Никколо Тарталья, о котором мы уже раньше говорили. Невозможно продолжить этот ряд, так как итальянский ученый был самоучкой. Родившийся в бедной семье, молодой Тарталья, согласно легенде, даже вынужден был украсть в своей школе книги, чтобы познать математику.
В этом генеалогическом древе вы также можете найти Галилея и Ньютона, ученых, не требующих представления. В одной из частей схемы можно увидеть имя Марена Мерсенна, основавшего Парижскую академию наук, место, где была разработана теории вероятностей. Его ученик Жиль Роберваль изобрел весы, которые носят его имя. Чуть выше Джордж Дарвин, сын Чарльза Дарвина, автора теории эволюции.
Нет ничего удивительного в том, что здесь так много великих математиков, т. к. если проследить генеалогию большинства математиков достаточно далеко, то в конце концов можно встретить известные имена. Следует также отметить, что на этой схеме представлены только мои прямые предки, и в ней отсутствуют многочисленные «кузены». На сегодня у Тартальи уже больше тринадцати тысяч потомков, и это число продолжает расти с каждым годом.
