Тем не менее в ответ на неизбежный дрейф математических материков ученые стали сотрудничать больше, чем когда-либо, и получили больше возможностей для совместной работы, которая станет единой и неделимой. Так, в XX в. математика находится под влиянием двух противоположных процессов.
Второй Международный конгресс математиков проводился в Париже в августе 1900 г. Впоследствии данное мероприятие стали проводить каждые четыре года, за исключением нескольких лет, когда конгресс не созывали из-за мировых войн. Последний из них состоялся в Сеуле с 13 по 21 августа 2014 г. На нем присутствовало более 5000 участников из 120 стран мира – исторический максимум за все время проведения этих конференций. Следующий конгресс состоится в Рио-де-Жанейро в августе 2018 г.
За долгие годы проведения таких встреч сформировались некоторые традиции конгресса. Так, с 1936 г. на конгрессе вручается престижная Филдсовская медаль. Эта награда, которую часто называют Нобелевской премией по математике, является высшим достижением в данной дисциплине. На лицевой стороне медали изображен портрет Архимеда, обрамленный цитатой древнегреческого математика Transire suum pectus mundoque potiri (с лат. «превзойти свою человеческую ограниченность и покорить Вселенную»).
Профиль Архимеда на Филдсовской медали
Одним из результатов глобализации математики стало также использование английского как международного языка дисциплины. Следует отметить, что со времен Парижского конгресса многие участники жаловались на то, что лекции и доклады, представленные только во французском языке, сложно понять иностранным делегатам. Вторая мировая война и эмиграция значительной части интеллектуальной элиты Европы в США, где ученые продолжили работать в крупных университетах, во многом способствовали этому процессу. Сегодня подавляющее большинство математических научных статей написано и опубликовано на английском языке.
[23]
За последние сто лет количество математиков также значительно увеличилось. В 1900 г. их было всего несколько сотен и работали они главным образом в Европе. Сегодня по всей планете рассеяны десятки тысяч математиков. Каждый день публикуются десятки новых статей. По некоторым оценкам, в настоящее время мировое математическое сообщество производит около миллиона новых теорем каждые четыре года!
Унификация математики также привела к значительной реорганизации самой дисциплины. Одним из самых активных участников этого движения стал немецкий математик, профессор Геттингенского университета Давид Гильберт; как и Пуанкаре, он известен как один из самых ярких и влиятельных математиков начала XX в.
В 1900 г. Гильберт участвовал в Парижском конгрессе и в среду 8 августа выступил в Сорбонне с речью, которая осталась в истории. Немецкий математик представил список основных нерешенных вопросов, которые, по его мнению, должны были стать вектором развития математики будущего столетия. Математики любят вызовы, и здесь он попал в цель. Двадцать три проблемы Гильберта вдохновили ученых на исследования, и уже совсем скоро на них начали давать ответы, в том числе ряд математиков, присутствовавших в тот день в зале на конгрессе.
К 2016 г. четыре из этих проблем все еще остаются без ответа. Среди них восьмая из списка Гильберта проблема, так называемая гипотеза Римана, которая считается величайшей математической гипотезой нашего времени. Смысл этой проблемы заключается в поиске мнимых решений уравнения, сформулированного в середине XIX в. немецким ученым Бернхардом Риманом. Это уравнение особенно интересно еще и потому, что содержит в себе ключ к гораздо более древней тайне: последовательности простых чисел, изучаемых со времен эпохи Античности.
[24] Эратосфен был одним из первых, кто изучил эту последовательность чисел в III в. до н. э. Найдя решения уравнения Римана, вы, таким образом, получите массу информации о числах, которые занимают центральное место в арифметике.
Обозначив двадцать три проблемы математики, Гильберт не остановился на достигнутом. В последующие годы немецкий математик стремился создать для математики прочный, устойчивый и надежный фундамент, на котором могли бы базироваться все ее направления. Его целью была разработка уникальной теории, охватывающей все отрасли математики. Как вы помните, начиная с Декарта и описанной им системы координат геометрические задачи могут быть выражены на языке алгебры. Геометрия в какой-то степени становится подразделом алгебры. Но можно ли объединить две дисциплины в масштабах всей науки? Другими словами, можно ли создать такую супертеорию, которая объединила бы все ветви математики, для которой геометрия, теория вероятностей, алгебра или исчисление бесконечно малых величин будут всего лишь частными случаями?
Эта супертеория создана на основе теории множеств, сформулированной в конце XIX в. Георгом Кантором. Несколько предложений аксиоматизации этой теории были выдвинуты в начале XX в. В период с 1910 по 1913 г. британские математики Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел опубликовали трехтомный труд под названием Principia Mathematica (с лат. – «Принципы математики»). В этой работе содержались аксиомы и логические правила, исходя из которых математика была воссоздана с нуля. Один из самых известных отрывков этой работы находится на триста шестьдесят второй странице первого тома, где Уайтхед и Рассел, воссоздавая арифметику, наконец дошли до доказательства теоремы 1 + 1 = 2! Это очень забавляло авторов, так как требовалось исписать так много страниц с использованием рассуждений, которые могут поставить в тупик неискушенных математиков, чтобы доказать простейшее равенство. Ради вашего интереса ниже приводится доказательство 1 + 1 = 2 на языке символов Уайтхеда и Рассела:
Не пытайтесь разобраться в этой последовательности символов, так как это абсолютно невозможно, не прочитав предыдущие 361 страницу!
[25]
После Уайтхеда и Рассела были сделаны и другие предложения по совершенствованию аксиом, и современная математика в значительной степени основывается на нескольких базовых аксиомах из теории множеств.
