Всеобщая унификация также вызвала лингвистическую дискуссию, поскольку некоторые математики начали в это время говорить о необходимости использования единственного числа для определения дисциплины.
[26] Даже сегодня встречаются еще много математиков, стремящихся навязать использование термина в единственном числе, но привычка уже глубоко засела в подсознании людей, и на текущий момент большинство склоняется к использованию формы множественного числа.
Несмотря на огромный успех теории множеств, Гильберт не был полностью удовлетворен результатом, и у него все еще оставались некоторые сомнения в достоверности аксиом, изложенных в «Принципах математики». Для того чтобы теорию можно было считать совершенной, она должна отвечать двум критериям: последовательности и полноты.
Последовательность подразумевает, что в теории не должно быть парадоксов. Не представляется возможным одновременно доказать справедливость утверждения и его противоположности. Если, например, с помощью одной из аксиом можно доказать, что 1 + 1 = 2, а также, что 1 + 1 = 3, теория непоследовательна, потому что она сама себе противоречит. Полнота же говорит о том, что в данной теории достаточно аксиом для того, чтобы иметь возможность доказать все верные в ее контексте утверждения. Если, например, в арифметической теории недостаточно аксиом, чтобы доказать, что 2 + 2 = 4, то она считается неполной.
Можно ли доказать, что «Принципы математики» соответствуют этим критериям? Можно ли быть уверенным, что мы никогда не столкнемся с парадоксами и что используемые аксиомы будут достаточно точными и универсальными, чтобы с их помощью выводить все возможные теоремы?
Программа Гильберта столкнулась с серьезной проблемой в 1931 г., когда молодой австрийский математик Курт Гёдель опубликовал свою статью под названием «О неразрешимых теоремах “Принципов математики” и других формальных математических систем» (от нем. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme). В этой статье приводилось доказательство того, что невозможно создать такую супертеорию, которая будет одновременно последовательной и полной! Если «Принципы математики» последовательны, то обязательно найдутся неразрешимые теоремы, которые нельзя будет ни доказать, ни опровергнуть. Поэтому невозможно определить, являются ли они истинными!
Изысканная катастрофа Гёделя
Теорема Геделя о неполноте является памятником математического мышления. Для того чтобы попытаться понять общий принцип, мы должны рассмотреть более подробно, что же такое математика. Вот два простейших арифметических утверждения:
A. Сумма двух четных чисел всегда будет четной.
B. Сумма двух нечетных чисел всегда будет нечетной.
Эти два утверждения достаточно понятные, и могут быть легко написаны на алгебраическом языке Виета. Немного подумав, вы увидите, что первое из этих утверждений, обозначенное как А, верное, в то время как второе, обозначенное как B, является ложным, так как сумма двух нечетных чисел всегда четная. Что приводит нас к следующим двум новым заявлениям:
С. Утверждение А верно.
Д. Утверждение Б ложно.
Эти два новых утверждения обладают некоторыми особенностями. Это не совсем математические утверждения, а скорее утверждения о математических утверждениях! Утверждения С и D, в отличие от А и В, могут априори не быть написаны на символическом языке Виета. Они не касаются ни чисел, ни геометрических фигур или какого-либо другого объекта арифметики, теории вероятности или исчисления бесконечно малых величин. Это то, что мы называем метаматематическими утверждениями, то есть такими, которые относятся к самой математике, а не к ее объектам изучения! Теорема – это математический объект. Утверждение, что теорема верна, является метаматематическим.
Различие может показаться тонким и незначительным, но только благодаря невероятно изобретательной формализации метаматематики Гёделю удалось доказать свою теорему. Открытие австрийского ученого позволило описать даже метаматематические утверждения на языке математики! Если рассматривать в своих рассуждениях утверждения как числа, предметом математики становятся не только числа, геометрия или теория вероятностей, но и сама математика!
Вещь, которая говорит сама о себе, это вам ничего не напоминает? Помните знаменитый парадокс Эпименида? Греческий поэт однажды сказал, что все критяне – лжецы. Эпименид сам был критянином, поэтому невозможно было определить, истинно или ложно это утверждение – в нем содержалось противоречие. Змея, кусающая себя за хвост. Вплоть до этого дня при формулировании математических утверждений самореферентные утверждения такого рода избегались. Но с помощью своей методики Гёделю удалось воспроизвести аналогичное явление в математике. Посмотрите на следующее утверждение:
G. Утверждение G нельзя доказать с помощью аксиом теории.
Это яркий пример метаматематического утверждения, но благодаря ловкости мысли Гёделя оно может быть выражено на языке математики. Поэтому стало возможным попытаться доказать G на основании аксиом теории. Рассмотрим два случая.
Предположим, что доказать утверждение G возможно; в этом случае оно неверно, то есть ложно, т. к., согласно утверждению G, оно не доказуемо. Если можно доказать ложное утверждение, то делаем вывод, что теория непоследовательна!
Теперь предположим, что доказать утверждение G невозможно. В этом случае утверждение G является истинным, и это означает, что аксиомы теории не в состоянии доказать утверждение, которое, тем не менее, верно! Таким образом, теория является неполной, поскольку есть истины, которые невозможно доказать с ее помощью.
Исходя из этого, в любом случае мы потерпим фиаско. Теория либо непоследовательна, либо неполна. Теорема о неполноте Гёделя определенно разрушила надежды Гильберта. И бесполезно пытаться обойти эту проблему, взяв за основу другую теорию, так как сделанный вывод применим не только к «Принципам математики», но и к любой другой теории, которая придет ей на смену. Уникальная и совершенная теория, с помощью которой можно доказать любую теорему, не может существовать в принципе.
Тем не менее надежда оставалась. Утверждение G, безусловно, неразрешимо, но необходимо признать, что оно не очень интересно с математической точки зрения и было сделано исключительно из стремления Гёделя применить парадокс Эпименида. Так, можно еще было надеяться, что значительные проблемы математики, которые вызывают подлинный интерес, не попадают в ловушку самореференции.
К сожалению, пришлось столкнуться с неизбежным подтверждением еще раз. В 1963 г. американский математик Пол Коэн доказал, что первые двадцать три проблемы Гильберта также принадлежали к этой странной категории неразрешимых утверждений. Невозможно их доказать или опровергнуть с помощью аксиом «Принципов математики». Если удастся найти решение первой проблемы, оно в любом случае будет частью другой теории. Но в этой новой теории, в свою очередь, появятся собственные пробелы и другие неразрешимые утверждения.
