Математики фактически придумывают сложные фантазии. Некоторые из этих фантазий могут иметь аналоги в физическом мире – они составляют то, что мы называем прикладной математикой. Другие, подобные тем, что постулируют существование высших бесконечностей, являются чисто гипотетическими. В создании своих воображаемых вселенных математики ограничены только необходимостью быть логически последовательными – и создавать нечто красивое. «Воображаемые вселенные гораздо прекраснее глупо устроенной настоящей»121, – заявил великий английский математик Годфри Харди. Если набор аксиом не ведет к противоречию, то вполне может быть, что он описывает Нечто. Именно поэтому, выражаясь словами Георга Кантора, разработавшего теорию бесконечности, «сущность математики заключена в ее свободе»122.
Итак, существование математических объектов логикой не предписывается, как считает Пенроуз, а просто дозволяется – а это гораздо более слабый вывод. В конце концов, практически все позволено логикой, но для некоторых современных платонистов еще более радикального толка этого вполне достаточно. С их точки зрения, внутренняя непротиворечивость сама по себе гарантирует математическое существование. То есть если набор аксиом не ведет к противоречию, то описываемый ими мир не только может существовать, но и существует в реальности.
Один из таких радикальных платонистов, Макс Тегмарк, молодой американский космолог шведского происхождения, преподает в Массачусетском технологическом институте. Подобно Пенроузу, Тегмарк верит в то, что Вселенная по своей сути имеет математическую природу, а также в то, что математические сущности абстрактны и неизменны. Тегмарк идет дальше сэра Роджера в том, что утверждает, будто каждая математическая структура, обладающая непротиворечивым описанием, существует в реальном физическом смысле. Каждая из этих абстрактных структур представляет собой параллельный мир, а все вместе эти параллельные миры образуют математическую мультивселенную. «Элементы этой мультивселенной не находятся в одном и том же пространстве, но существуют вне пространства и времени»123, – писал Тегмарк. Их можно представить себе в виде «статичных скульптур, представляющих математическую структуру физических законов, которые ими управляют».
Доведенный до крайности платонизм Тегмарка предлагает очень легкое решение тайны бытия: как признает сам Тегмарк, это фактически математическая версия принципа плодовитости Роберта Нозика, утверждающая, что реальность включает в себя все логические возможности и настолько богата и разнообразна, насколько можно себе представить. Все, что может существовать, на самом деле существует – поэтому Нечто преобладает над Ничто. Этот принцип привлекает Тегмарка онтологической силой, присущей, как он считает, математике. Математические структуры, говорит Тегмарк, «очень странным образом похожи на настоящие»124. Они приносят непредусмотренные плоды, удивляют нас, «дают сдачи». Мы получаем от них больше, чем вложили. А если Нечто ощущается столь реальным, то оно должно быть реальным.
Но почему мы должны поддаться этому «ощущению реальности», независимо от того, насколько оно похоже на истину?
Тегмарк и Пенроуз ему поддались, однако другой великий физик, Ричард Фейнман, устоял. «Это всего лишь ощущение»125, – пренебрежительно бросил Фейнман как-то раз, когда его спросили, могут ли математические объекты существовать независимо.
Бертран Рассел занял еще более жесткую позицию по вопросу подобного математического романтизма. В 1907 году еще довольно молодой Рассел восторженно восхвалял прелести математики: «С определенной точки зрения математика обладает не только истиной, но и величайшей красотой – холодной и строгой красотой скульптуры». Однако после восьмидесяти он пришел к выводу, что его юношеские восторги «по большей части чушь». Математика, писал постаревший Рассел, «перестала казаться мне нечеловеческой в отношении ее объекта. Я осознал, хотя и с неохотой, что она состоит из тавтологий. Боюсь, что тому, кто обладает достаточным интеллектом, вся математика покажется тривиальной – столь же тривиальной, как и утверждение, что всякое животное на четырех ногах является животным»126.
Каким образом романтический платонизм Пенроуза, Тегмарка и других может одолеть холодный цинизм Рассела? Если ни логика, ни ощущения не могут подтвердить существование вечных математических форм, то, возможно, на это способна наука. В конце концов, наши лучшие научные теории включают довольно много математики – например, общая теория относительности Эйнштейна. Описывая, как форма пространства-времени определяется распределением материи и энергии во Вселенной, теория Эйнштейна использует множество математических сущностей, таких как «функции», «континуум», «тензоры». Если мы считаем теорию относительности истинной, то разве не должны мы принять существование этих сущностей? Разве не будет интеллектуальной нечестностью притворяться, что они не существуют, если они незаменимы для нашего научного понимания мира?
Вкратце именно в этом состоит аргумент незаменимости для математического существования. Впервые его предложил Уиллард Ван Орман Куайн, выдающийся американский философ XX века – тот самый, который заявил: «Быть – значит быть значением переменной»127.
Куайн стоял на позициях крайней «натуральной» философии. Для него высшим судьей бытия была наука. И если наука неизбежно обращается к математическим абстракциям, значит, эти абстракции существуют. Хотя мы не можем наблюдать их непосредственно, мы нуждаемся в них для объяснения того, что мы наблюдаем. Как выразился один философ: «Причина нашей веры в числа и другие математические объекты та же самая, по которой мы верим в существование динозавров и темной материи»128.
Аргумент незаменимости называют единственным аргументом в пользу математического существования, который стоит рассматривать всерьез. Однако даже если он окажется верным, это вряд ли утешит платонистов вроде Пенроуза и Тегмарка, потому что он лишает математические формы их трансцедентности: они становятся всего лишь теоретическими положениями, помогающими объяснить наши наблюдения, – наравне с физическими понятиями вроде «субатомных частиц», поскольку встречаются в тех же самых объяснениях. Каким образом они могут быть причиной существования физического мира, если они сами являются частью ткани этого мира?
И на этом огорчения платонистов не исчерпаны. Оказывается, математика не так уж незаменима для науки: мы вполне можем объяснить, как устроен физический мир, не прибегая к математическим абстракциям, – подобно тому, как мы научились это делать, не прибегая к понятию Бога.
Одним из первых на эту возможность указал американский философ Хартри Филд. В своей книге «Наука без чисел», опубликованной в 1980 году, Филд показал, что ньютоновская теория гравитации (которая кажется математической до мозга костей) может быть сформулирована так, что в ней не будут использоваться какие бы то ни было математические понятия. Тем не менее такая «ньютоновская теория без чисел» дает те же самые предсказания, хотя и гораздо более окольными путями. Если «номинализация» науки (то есть избавление ее от математической зависимости) может быть распространена на теории вроде квантовой механики и общей теории относительности, то это будет означать, что Куайн ошибался и математика не является «незаменимой», а ее абстракции не требуются для понимания физического мира. Они всего лишь отличный инструмент для расчетов – удобный на практике (поскольку быстрее приводит к выводам), но теоретически поддающийся замене. Для существ, обладающих более высоким интеллектом, математика может быть вовсе не нужна. Числа и прочие математические абстракции окажутся не вечными и трансцедентными сущностями, а всего лишь изобретениями земного разума. Мы можем изгнать их из нашей онтологии, подобно герою рассказа Бертрана Рассела «Кошмар математика», криками: «Прочь! Вы всего лишь удобные символы!»129
