Рассмотрим для начала электрон в атоме водорода. Мы будем обсуждать квантовое описание атома водорода и других атомов в главах 10 и 11, а сейчас используем лишь простые количественные оценки волновых параметров атома водорода. Согласно формуле де Бройля, длина волны определяется формулой λ=h/p. Импульс равен p=m∙V, то есть произведению массы и скорости. Масса электрона составляет me=9,1∙10−31 кг, а характерная скорость электрона в атоме — V=5,0∙106 м/сек. Тогда длина волны де Бройля составляет
λ=h/p = (6,6∙10−34 Дж∙сек)/[(9,1∙10−31 кг)∙(5,0∙106 м/сек)] = 1,5∙10−10 м = 1,5 Å.
Заметим, что значение 1,5 Å примерно соответствует размеру атома. Таким образом, длина волны электрона в атоме и размеры атома примерно одинаковы. Волновые свойства электронов становятся очень важны, когда электроны оказываются в очень маленьких системах, таких как атомы.
А что можно сказать о бейсбольном мяче? По правилам Главной лиги бейсбола мяч должен весить от 142 до 149 г. Примем его массу равной 145 г = 0,145 кг. При очень сильной подаче развивается скорость 145 км/ч = 40 м/сек. Импульс быстрого мяча составляет p= 0,145 кг ∙ 40 м/сек = 5,8 кг∙м/сек. Таким образом, длина волны де Бройля для такого мяча будет равна
λ=h/p = (6,6∙10−34 Дж∙сек)/[(0,145 кг)∙(40 м/сек)] = 1,1∙10−34 м = 1,1∙10−24 Å.
Это невероятно малая величина. Размер одного атома составляет около 1 Å, размер ядра атома — примерно 10−5 Å. Следовательно, длина волны бейсбольного мяча составляет 0,0000000000000000001 размера атомного ядра. Такая длина волны чрезвычайно мала — настолько, что она никогда не проявится ни при каких измерениях. Ни у какой дифракционной решётки не может быть столь малого шага, чтобы продемонстрировать дифракцию волн длиной в одну десятимиллионную от триллионной доли размера атомного ядра. Поскольку эта длина волны та́к мала́, нам не приходится беспокоиться о том, что мяч может испытать дифракцию на бейсбольной бите. Он всегда ведёт себя как классическая частица.
Объекты, которые велики в абсолютном смысле, обладают тем свойством, что ассоциированная с ними длина волны совершенно ничтожна по сравнению с их размерами. Поэтому крупные частицы демонстрируют только свою корпускулярную природу, а их волновая природа никогда не проявляется. Напротив, для частиц, которые малы в абсолютном смысле, длина волны де Бройля сопоставима с их размерами. Такие абсолютно малые частицы ведут себя как волны или как частицы в зависимости от ситуации. Они представляют собой волновые пакеты. В контексте нашего обсуждения они являются и волнами, и частицами.
8. Квантовый ракетбол и цвет фруктов
В предыдущих главах были введены и объяснены фундаментальные понятия квантовой теории. Приведённые примеры, однако, касались только поведения свободных частиц. Было показано, что электроны могут вести себя как частицы, когда обсуждается работа ЭЛТ, но они ведут себя как волны, когда речь идёт о дифракции на поверхности кристаллов.
Свободная частица может иметь любую энергию. Эта энергия, которая является кинетической, определяется массой и скоростью частицы. Небольшое приращение скорости даёт небольшой прирост энергии. Значительное увеличение скорости приведёт к существенному увеличению энергии. Шаги изменения энергии могут быть любой величины; она меняется непрерывным образом.
О связанных электронах мы говорили только вскользь, в связи с фотоэлектрическим эффектом. При этом подчёркивалось, что если энергии приходящего фотона недостаточно для преодоления связи электронов с металлом, то ни одного электрона из него не вылетит. Электроны, связанные с атомными ядрами, отвечают за свойства атомов и молекул. Выше упоминалось о том, что Планк объяснил излучение абсолютно чёрного тела, которое будет подробно обсуждаться далее, постулировав, что энергия связанных электронов может меняться только дискретными шагами. Чтобы понять свойства атомной и молекулярной материи, окружающей нас в повседневной жизни, необходимо уметь в квантовой теории работать со связанными электронами.
Ключевое свойство электронов, связанных с атомами и молекулами, состоит в том, что их энергетические состояния дискретны. Мы говорим, что энергия электрона может квантоваться, то есть электрон, связанный с атомом или молекулой, может иметь лишь некоторые определённые значения энергии. Энергия меняется ступенчато, и эти ступени имеют определённые дискретные размеры. Энергетические состояния подобны лестнице. Вы можете стоять на одной ступени или подняться на следующую, более высокую ступень. Однако невозможно стоять на полпути между двумя ступенями. Эти дискретные, или квантованные, значения энергии часто называют энергетическими уровнями. В отличие от обычных лестниц интервалы между энергетическими уровнями, как правило, не одинаковы.
Важная сфера современных квантовых исследований — расчёт электронных состояний молекул. Эта область называется квантовой химией. Такие вычисления позволяют получить квантованные уровни энергии для электронов в молекулах (энергетические уровни), а также рассчитать строение молекул. Расчёт строения молекулы даёт расстояния между атомами и положения всех атомов в молекуле с точностью, ограниченной лишь принципом неопределённости. Таким образом, квантовомеханические расчёты позволяют определять размеры и форму молекул. Подобные вычисления важны для понимания фундаментальных принципов связывания атомов в молекулы и для конструирования новых молекул. По мере развития квантовой теории и появления всё более мощных и сложных компьютеров, способных решать трудоёмкие математические задачи, всё более и более крупные молекулы удаётся исследовать методами квантовой химии. Одно из наиболее важных приложений квантовой теории — разработка фармацевтических препаратов. Молекулы можно конструировать так, чтобы они имели нужные размеры и «подходили» по форме к конкретным локусам протеинов или энзимов.
Квантовая химия требует очень трудоёмких вычислений. Даже для простейшего атома водорода квантовомеханические расчёты математически очень сложны. Атом водорода состоит из одного электрона, связанного с одним протоном. Протон, который является ядром атома водорода, — это положительно заряженная частица, а электрон заряжен отрицательно. Притяжение отрицательно заряженного электрона к положительно заряженному протону удерживает их вместе, скрепляя атом водорода. Детали расчёта энергетических уровней атома водорода здесь излагаться не будут, но в следующих главах мы рассмотрим некоторые особенности результатов этих вычислений. Они дают энергетические уровни атома водорода и его волновые функции. Именно волновые функции, то есть волны амплитуды вероятности для атома водорода, являются отправной точкой для понимания всех атомов и молекул. Атомы и молекулы сложны потому, что они являются абсолютно малыми трёхмерными системами, и необходимо учитывать, как протоны и электроны взаимодействуют друг с другом.
