E=h2/8∙m∙L2.
Когда на молекулу попадает свет, фотон может быть поглощён. В этом случае общая энергия света убывает на величину энергии поглощённого фотона. Энергия должна сохраняться, что обеспечивается переходом электрона в более высокое энергетическое состояние, то есть он покидает основное состояние с наименьшим уровнем энергии и переходит на более высокий энергетический уровень. Однако этот более высокий энергетический уровень не может иметь произвольное значение энергии, поскольку энергетические уровни частицы в ящике (и в молекулах) квантуются. Самое низкое энергетическое состояние над основным уровнем соответствует квантовому числу n=2. Это состояние называется первым возбуждённым. Электрон возбуждается при поглощении фотона и переходит из основного состояния в первое возбуждённое. Энергия первого возбуждённого состояния (n=2) равна
E=4∙h2/8∙m∙L2.
Энергия должна сохраняться. Это верно для классической механики и остаётся верным в квантовой механике. Вначале электрон находился в основном состоянии. Затем, после поглощения фотона, перешёл в возбуждённое состояние. Следовательно, для того чтобы соблюдался закон сохранения, энергия фотона должна быть равна разности между энергией возбуждённого состояния электрона и энергией его основного состояния. Только фотон с такой энергией может быть поглощён данной системой. Энергия фотона определяется длиной волны света. Следовательно, поглощаться может свет только некоторых определённых цветов.
Рисунок 8.7 иллюстрирует поглощение фотона. Стрелки показывают два разрешённых пути, по которым может поглотиться фотон. Их называют переходами. На рисунке отражены переходы из n=1 в n=2 и из n=1 в n=3. Чтобы фотон был поглощён, его энергия должна быть равна разности энергий двух квантовых уровней. Если энергия фотона не совпадает с разностью энергий двух квантовых уровней, он не может поглотиться.
Разность энергий ∆E между энергетическим уровням перового возбуждённого состояния (n=2) и энергетическим уровнем основного состояния (n=1) равна
∆E=(4∙h2/8∙m∙L2)−(h2/8∙m∙L2),
∆E=3∙h2/8∙m∙L2.
Это энергия, которую должен иметь фотон, чтобы заставить электрон совершить переход из основного состояния в первое возбуждённое. Можно воспользоваться соотношением Планка E=h∙ν для энергии фотона, чтобы убедиться в том, что энергии ∆E соответствует определённая частота света. Кроме того, поскольку произведение длины волны и частоты равно скорости света λ∙ν=c, можно найти длину волны (цвет) того света, который будет испытывать поглощение.
Рис. 8.7.Энергетические уровни частицы в ящике. n — квантовое число, энергия E выражена в единицах h2/8∙m∙L2. Стрелками обозначено поглощение фотонов, которое может привести к переходу электрона с низшего энергетического уровня n=1 на более высокие энергетические уровни n=2, n=3 и т. д. Чтобы фотон был поглощён, его энергия должна совпадать с разностью энергий квантовых уровней
Цвет фруктов
Подставим в формулы численные значения постоянной Планка h=6,6∙10−34 Дж∙cек и массы электрона me=9,1∙10−31 кг. В качестве длины ящика L примем средний размер молекулы: L=0,8∙10−9 м (0,8 нанометра, 0,8 нм). Тогда
ΔE= 3∙(6,6∙10−34)2 / 8∙(9,1∙10−31)∙(0,8∙10−9)2= 2,8∙10−19 Дж.
Разделив полученное значение энергии на h, получим частоту ν=4,25∙1014 Гц, которая соответствует длине волны поглощаемого света λ=7,06∙10−7 = 706 нм. Свет с длиной 706 нм находится у самого красного края видимого спектра. Что случится, если размер ящика (молекулы) будет меньше и составит, допустим, 0,7 нм, а не 0,8 нм? Энергия поглощаемого света при этом будет больше, а значит, с уменьшением размеров ящика длина волны поглощаемого света становится меньше. Поглощаемая энергия обратно пропорциональна L2 (L2 находится в знаменателе). Это означает, что с уменьшением размера ящика интервал между энергетическими уровнями увеличивается, а разность энергий возрастает как квадрат длины ящика. Таким образом, для ящика длиной 0,7 нм поглощаемая длина волны составит λ=540 нм, что соответствует зелёному свету. Если же размер ящика будет ещё меньше, допустим 0,6 нм, то λ=397 нм, и это самый голубой край спектра света, видимого невооружённым глазом.
Эти результаты в общих чертах справедливы и для молекул, хотя при этом необходимо принимать в расчёт множество тонкостей. Однако для ряда молекул, имеющих в целом сходную структуру (типы атомов и т. п.), чем крупнее молекула, тем более красный свет она поглощает. Наши результаты, полученные для частицы в ящике, демонстрируют на сугубо качественном уровне, почему вещи бывают разного цвета. Маленькие молекулы поглощают свет в ультрафиолетовой части спектра. Мы не видим ультрафиолет, так что поглощение малыми молекулами не влияет на цвет. Мы видим те цвета, которые содержатся в свете, отражённом от объекта. Цвета, которые соответствуют поглощаемым длинам волн, не отражаются. Крупные молекулы поглощают в видимой части спектра, и именно молекулярное поглощение придаёт вещам их цвет.
Вишня имеет красный цвет, а черника — синий, потому что в них содержатся различные молекулы, которые сильно поглощают волны разной длины, соответствующие разным цветам света. В этих молекулах есть квантованные электронные переходы. За счёт переходов из своих основных электронных состояний в возбуждённые состояния они могут поглощать световые волны только таких длин, которые определяются их квантованными энергетическими уровнями. В случае частицы в ящике значения энергии переходов для электрона определяются исключительно длиной ящика и массой электрона. Для молекул квантование энергии переходов, а значит длины волн и цвета, определяется как размерами молекул, так и особенностями их строения, то есть формой молекул, типами атомов, из которых они состоят, и тем, как атомы расположены.
