Анализ, который проделал юный петушок, – очень простой пример, однако именно такова суть байесовского подхода к данным и теории. Результаты экспериментов, выводы из новых наблюдений и данных влияют на уверенность в гипотезе, помогают оценить вероятность, что она точна. Однако ученым не всегда было ясно, что имеет смысл оценивать неопределенность численно. Более того, об экспериментах и наблюдениях вообще не было принято думать с этой точки зрения, не принято было делать мир таким местом, где царят вероятности и «уверенность» в том, что правда, а что нет. На то, чтобы подобный подход прижился, потребовалось много времени. Даже такой выдающийся ученый, как Гершель (тот самый, который всего несколько десятков лет спустя размышлял над существованием жизни на других планетах), определенно его не применял. Поэтому мы в огромном долгу перед Байесом и всеми, кто в XVIII веке пытался разобраться, как сделать из неопределенности вероятность по примеру нашего петушка.
Как сам Байес пытался решить эту задачу, видно на примере, который сам он приводил, чтобы сделать свои математические формулы нагляднее. Он предлагал представить себе бильярдный стол (годится любой, но давайте представим себе бильярдный ради исторической точности).
Так вот, представьте себе, что вы небрежно бросаете на бильярдный стол красный шар, который катится себе случайным образом и может остановиться в любом месте. Итак, красный шар остановился в каком-то месте, вы его не трогаете, несколько раз прокатываете по столу в том же направлении белый шар и записываете, как часто он останавливается дальше красного шара. Затем Байес, опираясь на то, где останавливались шары на воображаемом столе, предложил вывести математически обоснованный ответ на следующую простую задачку: если вы знаете, что произошло с теми шарами, которые вы уже прокатили по столу, можно ли предсказать, с какой вероятностью следующий белый шар остановится до или после красного (каковы шансы на тот или иной результат)? Байес показал, что можно. Главное – чем больше прокатишь шаров, тем сильнее будет уверенность в результате следующего броска, в точности как у петушка и Солнца.
Мысленный эксперимент с бильярдными шарами очень прост, однако многое говорит о том, насколько фундаментальным был вопрос вероятностей для математики XVIII века. До того времени никто не разобрался, как проделать необходимые выкладки, а концепции, которые легли в основу работы с неопределенностью, были всем в новинку и даже пугали. Байес двигался к формулировке теоремы, которая впоследствии получила его имя – теоремы, при помощи которой можно было вычислить, насколько человек «верит» в гипотезу перед лицом свидетельств, как правдоподобие в чьих-то глазах или уверенность в чем-то связаны с тем, что то или иное утверждение верно.
Чтобы вам легче было понять смысл теоремы и разобраться, как можно применить ее к нашему вопросу о жизни во Вселенной, приведу чуть более красочный и сложный пример, чем восходы и бильярдные шары. Представьте себе, что у меня есть любопытная гипотеза, что 20 % популяции котов на планете составляют чеширские коты
[176]. Само собой, чтобы проверить свою гипотезу, я должен пойти и найти какое-то количество котов, выявить среди них чеширских и не-чеширских и посчитать, сколько их. Эта задача не то чтобы разительно отличается от поиска признаков инопланетной жизни – обитаемых и необитаемых планет.
Разумеется, посчитать котов – дело непростое, легко сказать, да трудно сделать. Я мечусь впотьмах, мне не на что опереться, никакой предварительной информации у меня нет. Прежде всего, если я не готов поймать и рассортировать огромное количество котов, распределение результатов у меня неизбежно будет случайным. Если я схвачу и запихну в мешок десять первых попавшихся котов на улице и выясню, что два из них – чеширские, то никак не смогу с уверенностью сказать, что это подтверждает мою гипотезу о 20 % чеширских котов на планете, поскольку выборка будет случайной и из небольшого количества котов, а следовательно, погрешность у моего эксперимента будет очень велика.
Значит, нужно выстроить несколько более хитроумную теорию о количестве чеширских котов и учесть кое-какие ожидания о распространенности (или вариациях) случайно выбранных групп котов. В сущности, нужно, чтобы погрешность можно было предсказать, чтобы я мог заранее представить себе, как должны будут выглядеть мои измерения, если моя гипотеза верна. Мало того что случайная выборка чревата осложнениями, есть еще и вопрос систематической погрешности, вызванной изначальными условиями. Может быть, чеширские коты, в принципе толстые и неповоротливые, легче ловятся, и поэтому я их больше насчитаю. Может быть, моя гипотеза относительно чеширских котов в принципе ошибочна (а такое совсем не исключено, если учесть, что чеширские коты чуть что становятся невидимыми). Однако я вполне мог убедить себя, что она верна, если по воле судьбы в моей случайной выборке оказалось нужное число улыбающихся котов, которых я принял за чеширских.
Так что вероятность того, что моя гипотеза чеширских котов верна, сама по себе равна математической комбинации каких-то других вероятностей, с ней связанных. Прежде всего это вероятность получить конкретный результат измерений с учетом этой гипотезы. Звучит немного странно, однако это означает, что если модель или гипотеза верна, вы вправе ожидать, что подсчет котов принесет определенные результаты. Например, я мог бы определить вполне конкретную вероятность того, что в моей случайной выборке из 10 пойманных котов я насчитаю 1, 2, 3 или любое другое число чеширских.
Далее следует так называемая апостериорная вероятность – и именно ее мы и хотим узнать, когда гоняемся за котами или пытаемся найти ответ на вопрос о жизни во Вселенной. Апостериорная вероятность – обратная сторона вышесказанного, причем интуитивно более понятная. Это вероятность того, что гипотеза верна, в свете свидетельств или измерений. Иначе говоря, эта вероятность говорит нам, каковы шансы, что моя теория о котах верна – или что во Вселенной есть жизнь помимо нас, при том, что мы наблюдаем только жизнь здесь, на Земле. А еще эта та самая мера уверенности, о которой мы говорили в связи с рассветами и бильярдными шарами.
Наконец, при рассмотрении моего примера с котами надо учитывать еще и такой фактор, как сама по себе наша гипотеза, и это называется априорной вероятностью. В данном случае это вероятность, что любой кот окажется чеширским, и мы считаем, что она равна 20 % или 0,2. Мы, конечно, не знаем, точна ли цифра 20 %, это то самое число, которое мы хотим подтвердить, – примерно как вероятность, что на каждой отдельно взятой планете может зародиться жизнь. Интересно, что когда мы приписываем ситуации эту вероятность, то имплицитно исходим из предположения, что сама идея – существование чеширских котов – верна. А такого рода предположения опасны, поскольку мы можем случайно придать слишком много веса безумным гипотезам. Так что лучше всего – если, конечно, мы не страдаем чрезмерной самоуверенностью – оценить побольше возможных «априори» и держать кулаки за то, что данные, которыми мы располагаем, позволят распределить гипотезы-победительницы и гипотезы-аутсайдеры по относительной вероятности.
