— Sтреугольника = (основание • высота)/2 = 2πr*r/2 = πr²
— Что означает: Sкруга = Sтреугольника.
Пусть это изобразят на моем надгробии!
В утверждении 34 трактата «О шаре и цилиндре» содержится результат, которым, как нам точно известно, более всего гордился Архимед:
Соотношение объемов цилиндра и вписанного в него шара равно 3/2. Соотношение площадей поверхности цилиндра и вписанного в него шара также равно 3/2 (см. рисунок):
Vцилиндра 3/2 Vшара
Sцилиндра = 3/2 Sшара
Он смог найти абсолютно точное отношение между объемами шара и цилиндра, в который тот вписан. Речь идет о случае, когда диаметр шара равен как диаметру основания цилиндра, так и его высоте. Объем цилиндра получается в полтора раза (3/2) больше объема шара. Такое же соотношение и у площадей их поверхностей. Как мы уже говорили, Архимед даже завещал выбить изображение шара, вписанного в цилиндр, на своем надгробном памятнике вместо эпитафии. В I веке до н. э. Цицерону, по его словам, удалось увидеть это надгробие. До нашего времени оно, к сожалению, не дошло.
РИС.З
РИС. 4
Чтобы получить нужный результат, Архимед использовал различные определения, постулаты и утверждения, попутно найдя важные соотношения площадей других фигур. «О шаре и цилиндре» — это трактат, состоящий из двух книг, написанных в разные годы его жизни. Первая книга служит теоретической основой для второй, представляющей собой ответы на вопросы Досифея, которому она и посвящена. Первая книга заключает в себе 44 утверждения, шесть определений и пять постулатов. Кроме того, некоторые утверждения содержат важные следствия: например, рассматриваемое соотношение между шаром и цилиндром представлено в форме следствия из двух утверждений. Речь идет об утверждениях 33 и 34.
«Утверждение 33. Поверхность любого шара в четыре раза больше площади его большого круга» (рисунок 4).
Большой круг — это круг, который делит шар на две равные половины. Данное утверждение (рисунок 4) можно пояснить следующим умозрительным образом. Если мы сложим четыре раза площадь SCM большого круга (SCM= πr²), то сумма будет равна площади поверхности всего шара SE (SE = 4πr²). Это означает, что потребовалось бы равное количество краски, чтобы покрасить поверхность шара и четыре больших круга.
«Утверждение 34. Любой шар [по объему] в четыре раза больше конуса, база которого равна большому кругу, а высота — радиусу шара».
В алгебраической записи показать данное соотношение объемов можно так (рисунок 5). Объем Vc конуса с радиусом r и высотой r равен
Vc = 1/3πr³
а объем шара VE с радиусом r равен
VE=4/3πr³.
Таким образом: VE = 4 Vc. То есть объем шара с радиусом r равен объему четырех конусов с радиусом основания r и высотой r. Другими словами, чтобы наполнить весь шар с радиусом r 4 л воды, потребуются 4 конуса с радиусом r и высотой r, вмещающие по 1 л каждый.
РИС. 5
РИС. 6
В качестве следствия из утверждения 34 Архимед выводит заключение, упомянутое в начале главы и действительное для объемов и площадей:
«Поверхность шара составляет 3/2 поверхности цилиндра с основанием, равным большому кругу шара, и высотой, равной его диаметру» (рисунок 6).
Чтобы вычислить площадь поверхности цилиндра, надо сложить площади его боковой поверхности и двух оснований. Боковая поверхность равна по площади прямоугольнику с основанием 2кг и высотой 2r. Следовательно, ее площадь будет составлять 4πr².
С другой стороны, два основания представляют собой круги с радиусом г, так что площадь каждого равна πr². Сложив площади боковой поверхности и удвоенную площадь основания, получаем площадь поверхности цилиндра: Sc = 6πr².
Итак, из расчетов следует, что площадь цилиндра равна шести площадям круга с таким же радиусом. И значит, один шар равен четырем кругам, а шесть кругов — полутора шарам. Нам понадобится одинаковое количество краски, чтобы покрасить шесть кругов радиусом r, полтора шара радиусом r или один цилиндр с радиусом основания r и высотой 2r. Надо прибавить, что полученные отношения действительны также и для объемов, то есть объем цилиндра составляет 3/2 объема вписанного в него шара (рисунок 7).
Легче и нагляднее представить себе это соотношение следующим образом: если один шар вмещает 2 л воды, то в описанный вокруг него цилиндр войдет 3 л.
Вот почему часто говорят, что отношение цилиндра к шару — три к двум.
РИС. 7
ДЕЛОССКАЯ ЗАДАЧА
В V веке до н. э. Афины опустошила эпидемия чумы, одной из жертв которой стал знаменитый Перикл (495-429 гг. до н. э.), афинский политический деятель, которому удалось собрать в Афинах множество талантливых людей со всех концов греческого мира. Тогда группа афинян решила идти к оракулу Аполлона в Дельфах, чтобы узнать, как можно остановить чуму. По преданию, полученный ответ был таков: надо сделать новый кубический алтарь взамен старого так, чтобы по объему он был ровно в два раза больше. В этой легенде — в одном из двух ее вариантов — ставится знаменитая задача удвоения куба, известная как «делосская задача»: как построить куб объемом в два раза больше заданного, используя только линейку и циркуль. Из книги Архимеда «О шаре и цилиндре» понятно: он вполне осознавал, что для удвоения куба невозможно идти по интуитивно напрашивающемуся пути — просто удвоить его ребро. Ведь если ребро куба I1 = а, его объем будет составлять V1 = а³; удвоив же ребро I2 =2а, мы получим объем нового куба V2 = (2а)³ = 8а³, а это значит, что V2 = 8V1. Объем куба не удвоился, а «увосьмерился», как показано на рисунке.
Сегодня мы знаем, что решить «делосскую задачу» с помощью исключительно линейки и циркуля невозможно, потому что ее решение представляет собой иррациональное число. Так, чтобы удвоить куб с ребром а, ребро нового куба должно равняться
