Д-р Крулик получил степень бакалавра в области математики в Бруклинском колледже Городского университета Нью-Йорка, а степень магистра и степень доктора педагогических наук в области математики — в Педагогическом колледже Колумбийского университета. До прихода в Университет Темпл он в течение 15 лет преподавал математику в школах г. Нью-Йорк. В средней школе Лафайетт в Бруклине он организовал ряд курсов для подготовки учащихся к SAT-экзамену с акцентом на освоении методов решения задач вместо механического запоминания алгоритмов.
На общенациональном уровне д-р Крулик входит в состав комитета Национального совета преподавателей математики, отвечающего за разработку Профессиональных стандартов преподавания математики. В 1980 г. он был редактором ежегодника Национального совета под названием «Решение математических задач в школе». На региональном уровне он был президентом Ассоциации преподавателей математики Нью-Джерси, в 1993 г. входил в редакционный совет математического справочника The New Jersey Calculator Handbook и в 1997 г. редактировал монографию Tomorrow's Lessons.
Основная сфера его интереса — обучение методам решения задач и умению логически рассуждать, методические материалы по преподаванию математики, также комплексная оценка математических способностей. Он является автором и соавтором более 30 книг для преподавателей математики, в том числе Roads to Reasoning (классы 1–8) и Problem Driven Math (классы 3–8). Д-р Крулик, помимо прочего, является основным автором задач для серии базовых учебников. Д-р Крулик часто выступает со статьями по математическому образованию в профессиональных журналах. Он консультировал и проводил семинары в школьных округах США и Канады, а также выступал с лекциями в Вене (Австрия), Будапеште (Венгрия), Аделаиде (Австралия) и Сан-Хуане (Пуэрто-Рико). Д-ра Крулика часто приглашают на национальные и международные совещания, где он концентрирует внимание на формировании у всех учащихся умения логически рассуждать и решать задачи как на уроках математики, так и в жизни.
В 2007 г. в Университете Темпл ему вручили премию «Выдающийся учитель». В 2011 г. Национальный совет преподавателей математики представил его к почетной премии за «Выдающиеся заслуги в сфере математического образования».
Введение
С начала 1980-х гг. решение задач, логическая аргументация и критическое мышление стали неотъемлемой частью программы по математике в США, а потом и в большей части мира. Еще в 1977 г. Национальный совет учителей математики заявил, «обучение решению задач — это главная причина изучения математики». В конце концов, что толку от понимания, как делать то или другое, если не знаешь, когда делать это. Движение под флагом приобретения навыков решения задач набирает силу и распространяется все больше на программу изучения математики. По мере углубления этого процесса он начинает переключаться и на решение задач в повседневной жизни. Каждый день люди сталкиваются с задачами, требующими решения. Они могут варьировать от очень простых, например, что надеть сегодня, до очень сложных. Даже то, что кажется простым, взять хотя бы переход улицы, может оказаться сложным и потребовать обдумывания, если мы приезжаем в страну, где уличное движение организовано иначе.
Прежде чем говорить о решении задач, нужно определиться с тем, что составляет задачу. Задача — это ситуация, в которой необходимо принять решение, но путь к этому решению заранее неизвестен. Запомните эти слова: «но путь к этому решению заранее неизвестен». Когда многие из нас ходили в школу, задачи, которые нас учили решать, нередко были «типовыми». Иначе говоря, «задачи, связанные с возрастом» решались одним путем, «задачи на движение» — другим, а еще были «задачи на смешивание», «задачи, связанные с измерением объема жидкости» и т. д., которые решались своими способами. Фактически, как только мы осваивали определенный метод, соответствующие задачи переставали быть задачами, требующими решения. Все, что нужно было сделать, это определить тип задачи и применить подходящий автоматический процесс.
История математических достижений полна прорывов, реакция на которые нередко выражается словами «мне и в голову не приходило, что можно использовать такой подход». Даже сегодня, когда представляют хорошее или изящное решение задачи, многие реагируют именно так. Решение задач — это попытка сделать такие необычные решения частью досягаемой базы знаний.
Решение задач сегодня в значительной мере основывается на эвристической модели, описанной Джорджем Пойа в книге «Как решить задачу» (How to Solve It), которая была издана в 1945 г. и до сих пор пользуется спросом. В этой книге Пойя представил такой четырехэтапный план решения задач:
1. Уяснение сути задачи.
2. Составление плана.
3. Выполнение плана.
4. Оценка найденного решения.
Большинство нынешних моделей решения задач строятся именно на этой четырехэтапной эвристической модели. План обычно включает в себя: 1) чтение условий задачи; 2) выбор подходящей стратегии, 3) решение задачи и 4) оценка найденного решения или его осмысление. Ключевым аспектом всего процесса является выбор подходящей стратегии, или определение подхода к задаче. Наша книга посвящена детальному исследованию именно этого критически важного этапа.
Итак, выбор подходящей стратегии является ключевым аспектом решения задачи. За последние десятилетия разные авторы описали и представили множество стратегий. В основе большинства из них лежат одни и те же идеи. В этой книге рассматриваются 10 наиболее ценных, на наш взгляд, стратегий решения задач. Каждой из них посвящена отдельная глава. При представлении задачи мы пытаемся сначала предположить, каким будет наиболее очевидный или распространенный подход. Чаще всего он приводит к правильному ответу. Вместе с тем самый употребительный подход нередко требует довольно запутанного математического аппарата, сложных вычислений, а в некоторых случаях дает неправильный ответ.
Затем мы предлагаем более изящное, или образцовое решение, показывающее, как рассматриваемая стратегия решения задачи приводит к ответу. Обратите внимание на то, что мы разделяем «ответ» и «решение». Решение — это процесс от момента чтения условий задачи до момента получения окончательного ответа и его осмысления. Некоторые говорят, что конкретный ответ — это всего лишь одна из наименее важных частей решения. Да, должно быть, так и есть, но процесс, в результате которого получается ответ, является критической частью решения.
По мере того, как вы будете читать эту книгу (и, мы надеемся, прорабатывать предложенные задачи), учитывайте, что во многих случаях для решения задачи можно использовать несколько стратегий. Например, решение задачи с применением стратегии «обоснованное предположение и проверка» обычно требует организации данных в определенном порядке. Когда такое происходит, мы переносим задачу в более подходящую, на наш взгляд, главу.
Каждую главу в этой книге мы начинаем с описания конкретной стратегии, показывающего, как ее можно использовать в каждодневных ситуациях, а затем приводим примеры применения в математике. После этого мы представляем ряд задач, которые лучше всего решаются с помощью именно этой стратегии. Каждая задача — это попытка проиллюстрировать применение конкретной стратегии. В число стратегий, которые мы собираемся рассмотреть, входят:
