Иоганн Боде упоминал эту же численную закономерность в 1772 году в своей книге «Руководство к познанию звездного неба» (Anleitung zur Kenntniss des Gestirnten Himmels); в более поздних изданиях он ссылался при этом на Тициуса. Тем не менее эту закономерность часто называли законом Боде. Сейчас, правда, в обиход вошло более подходящее название — закон Тициуса — Боде.
Это чисто эмпирическое правило объединяет планетарные расстояния в (почти) геометрическую последовательность. В первоначальном своем виде она представляла собой последовательность 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, в которой каждое число, начиная с третьего, вдвое больше предшествующего; затем к каждому члену этой последовательности добавляли 4 и получали: 4, 7, 10, 16, 28, 52, 100. Однако полезно привести эти числа к современным единицам измерения (а.е.), разделив их все на 10. Получим: 0,4; 0,7; 1,0; 1,6; 2,8; 5,2; 10,0. Эти числа на удивление хорошо соответствуют расстояниям до планет, за исключением пропуска на месте 2,8. Тициус считал, что знает, что должно находиться в этом месте. Та часть его ремарки, которую я заменил многоточием, выглядит так:
«Но должен ли был Господь-Архитектор оставить это место пустым? Вовсе нет. Давайте же считать, что это место, несомненно, принадлежит не открытым пока спутникам Марса; давайте также добавим, что Юпитер, возможно, еще имеет вокруг себя более мелкие спутники, не наблюдавшиеся пока ни в один телескоп».
Мы сегодня понимаем, что спутники Марса должны обнаруживаться поблизости от Марса, как спутники Юпитера — возле Юпитера, так что Тициус в некоторых отношениях угодил в молоко, но предположение о том, что в этом пробеле должно присутствовать какое-то тело, попало в самую точку. Однако до 1781 года, когда был открыт Уран, никто не принимал это предположение всерьез, а ведь Уран тоже вписался в последовательность. Предсказанное расстояние составляет 19,6 а.е.; реальное — 19,2.
Вдохновившись этим успехом, астрономы начали искать не замеченную прежде планету, которая обращалась бы вокруг Солнца на расстоянии, приблизительно равном 2,8 радиуса орбиты Земли. В 1801 году Джузеппе Пиацци нашел одну такую планету — по иронии судьбы, совсем незадолго до начала систематических поисков. Его планета получила название Церера, и ее историю мы продолжим в главе 5. Она была меньше Марса и намного меньше Юпитера, но она была, и была в нужном месте.
Как будто чтобы скомпенсировать скромный размер, Церера оказалась там не одинока. Вскоре на сходных дистанциях от Солнца было обнаружено еще три тела — Паллада, Юнона и Веста. Это были первые четыре астероида — они же малые планеты, — и за ними последовало еще много. Около 200 из них имеют размер более километра в поперечнике, известно также более 150 000 астероидов размером по крайней мере 100 метров в поперечнике
[24]; считается, что число еще более мелких астероидов измеряется миллионами. Они образуют знаменитый пояс астероидов — плоскую кольцеобразную область между орбитами Марса и Юпитера.
Мелкие тела имеются и в других местах Солнечной системы, но первые несколько открытий добавили весомости мнению Боде о том, что планеты распределены в ней регулярно. Последовавшее открытие Нептуна было мотивировано возмущениями в орбите Урана, а не законом Тициуса — Боде. Но закон предсказывал расстояние 38,8 а.е., что более или менее соответствует реальному расстоянию — где-то между 29,8 и 30,3. Попадание, конечно, не слишком точное, но приемлемое. Затем настала очередь Плутона: теоретическое расстояние 77,2; реальное — от 29,7 до 48,9. Вот и все, закон Тициуса — Боде перестал действовать.
Другие типичные черты планетарных орбит тоже оказались неуниверсальными. Плутон, скажем, очень странная планета. Его орбита обладает высоким эксцентриситетом и наклонена на чудовищные 17° к эклиптике. Иногда Плутон даже заходит внутрь орбиты Нептуна. Все эти нестандартные черты недавно привели к тому, что Плутон был разжалован из настоящих планет в карликовые. В качестве частичной компенсации Церера тоже стала карликовой планетой, а не просто астероидом (или малой планетой)
[25].
Несмотря на все успехи и неудачи, закон Тициуса — Боде ставит перед нами важные вопросы: имеет ли распределение планет какое-то математическое обоснование? Или они могли в принципе расположиться вокруг Солнца любым желаемым образом, на любых расстояниях? Что представляет собой этот закон — совпадение, проявление какой-то неизвестной закономерности или то и другое одновременно?
* * *
В качестве первого шага переформулируем закон Тициуса — Боде в более общий и слегка модифицированный вид. В оригинальной форме этот закон имеет аномалию: в качестве первого члена последовательности в нем используется 0. В полноценной геометрической прогрессии на этом месте должно было бы стоять 1,5. Хотя при таком выборе расстояние до Меркурия становится 0,55 (что менее точно), вся наша игра с расстояниями имеет чисто эмпирический и приближенный характер, так что, пожалуй, разумнее будет сохранить математическую аккуратность и использовать 1,5. Теперь закон можно выразить простой формулой: расстояние от Солнца до n-й планеты в астрономических единицах равно
Теперь следует провести несколько вычислений. По большому счету 0,4 а.е. для отдаленных планет не играет особой роли, поэтому отбросим этот член и получим d = 0,075 × 2n. Это уже center степенного закона, который в общем виде записывается как d = abn, где a и b — константы.
Прологарифмируем уравнение:
Если интерпретировать n и log d как координаты, получим уравнение прямой с наклоном log b, пересекающей вертикальную ось в точке log a. Таким образом, чтобы распознать степенную зависимость, нужно построить график зависимости log d от n в логарифмическом масштабе по обеим осям. Если результат окажется близок к прямой, все в порядке. Мало того, мы можем проделать то же самое не только для расстояния d, но и для других величин, таких как период обращения вокруг звезды или масса.
Если попытаться проделать это для расстояний от Солнца до планет, включая Цереру и Плутон, то получится график на рисунке слева. Он близок к прямой, как и следовало бы ожидать по закону Тициуса — Боде. А как насчет их масс (смотрим на рисунок справа)? На этот раз полулогарифмический график выглядит совершенно иначе. Ничего похожего на прямую или какую бы то ни было другую четкую зависимость.
