С точки зрения муравья, поверхность имеет два измерения. Это значит, что для составления карты любого участка местности достаточно двух координат. Если не брать во внимание небольшие изменения высоты, земным навигаторам достаточно только широты и долготы, чтобы узнать, где они находятся на земной поверхности. У Гаусса был блестящий ученик по имени Бернхард Риман, и он — с подачи наставника — решил обобщить формулу Гаусса для кривизны на «поверхности» с произвольным числом измерений. Поскольку на самом деле это уже не поверхности, для их обозначения Риману потребовался новый термин, и он выбрал немецкое слово Mannigfaltigkeit, что переводится как «многообразие» в смысле множества координат.
Другие математики, среди них несколько итальянцев, заразились многомерными поверхностями и создали новую область математики: дифференциальную геометрию. Именно им принадлежит большая часть базовых идей о многомерных поверхностях. Но все эти идеи они рассматривали с чисто математической точки зрения. Никто не подозревал, что дифференциальная геометрия может быть применима к реальному пространству.
* * *
Вдохновленный своим успехом с общей теорией относительности, Эйнштейн обратил внимание на главный ингредиент, которого по-прежнему недоставало, — гравитацию. Он работал над этой проблемой несколько лет, прежде чем до него дошло, что ключ к ней лежит в геометрии Римана. Он приложил немало усилий, чтобы разобраться в этой области математики (в этом ему помог Марсель Гроссман, математик и друг, ставший также проводником и наставником).
Эйнштейн понял, что ему нужен неортодоксальный вариант Римановой геометрии. Теория относительности допускает некоторое смешение пространства и времени, несмотря на то что эти две концепции играют разные роли. В традиционном Римановом многообразии метрика определяется с использованием квадратного корня из выражения, которое принимает только положительные значения. Как в теореме Пифагора, формула метрики представляет собой (обобщенно и локально) сумму квадратов. В специальной теории относительности, в аналогичной формуле задействовано вычитание квадрата времени. Эйнштейн вынужден был допустить отрицательные слагаемые в метрике; в результате получилось то, что мы сегодня называем псевдоримановым многообразием. Конечным результатом героических усилий Эйнштейна стали уравнения поля, связывающие кривизну пространства-времени с распределением вещества. Вещество искривляет пространство-время; искривленное пространство изменяет геометрию геодезических кривых, по которым движется вещество.
Закон всемирного тяготения Ньютона не описывает движение тел непосредственно. Это уравнение, решения которого позволяют получить это описание. Аналогично уравнения Эйнштейна не описывают форму Вселенной непосредственно. Их для этого необходимо решить. Но это нелинейные уравнения с десятью переменными, так что сделать это непросто.
Римановы многообразия мы в какой-то степени способны понять интуитивно, но псевдоримановы многообразия — это настоящая головоломка, если не работаешь с ними регулярно. Одно полезное упрощение позволяет мне говорить без потери смысла о форме пространства — то есть о Римановом многообразии, а не о более скользкой концепции формы пространства-времени, которая выражается псевдоримановым многообразием.
В теории относительности нет осмысленной концепции одновременности. Разные наблюдатели могут наблюдать, как одни и те же события происходят в разном порядке. Я вижу, как кошка прыгает с подоконника за мгновение до того, как ваза с грохотом разбивается об пол; вы видите, что ваза падает раньше, чем прыгает кошка. Что произошло? Кошка разбила вазу или падающая ваза напугала кошку? (Мы все знаем, какой из этих вариантов более вероятен, но у кошки великолепный адвокат, и зовут его Альберт Эйнштейн.)
Однако, несмотря на то что абсолютная одновременность невозможна, для нее существует замена: сопутствующая система отсчета. Это хитрое название для системы отсчета, или координатной системы, представляющей Вселенную так, как она выглядит с точки зрения какого-то конкретного наблюдателя. Начните в той точке, где я нахожусь сейчас (это будет начало координат) и двигайтесь десять лет со скоростью света к близлежащей звезде. Определите систему отсчета так, чтобы эта звезда находилась в десяти световых годах от начала координат и на десять лет в будущее. Проделайте то же самое для всех направлений и времен: это будет моя сопутствующая система отсчета. Такая система есть у каждого из нас; просто может так получиться, что ваша система окажется несовместима с моей, если кто-то из нас начнет двигаться туда-сюда.
Если ваше положение в моей сопутствующей системе отсчета выглядит стационарным (то есть, попросту говоря, вы в ней не движетесь), то мы с вами — сопутствующие наблюдатели. Для нас пространственная форма Вселенной определяется одной и той же фиксированной пространственной системой координат. Ее форма и размер могут меняться со временем, но существует непротиворечивый способ описывать эти изменения. Физически сопутствующую систему можно отличить от других систем: Вселенная в ней должна выглядеть одинаково во всех направлениях. В системе, которая не является сопутствующей, на одних участках неба может наблюдаться систематическое красное смещение, а на других — синее. Вот почему я могу обоснованно говорить о том, что Вселенная представляет собой, скажем, расширяющуюся сферу. Всякий раз, когда я разделяю таким образом пространство и время, я говорю о сопутствующей системе отсчета.
* * *
Теперь мы немного отвлечемся от нашей истории, чтобы заглянуть в царство мифологии. Физики и математики нашли решения уравнений поля, соответствующие классическим неевклидовым геометриям. Эти геометрии возникают в пространствах постоянной положительной кривизны (эллиптические), нулевой кривизны (плоское евклидово) и постоянной отрицательной кривизны (гиперболические). Пока все нормально. Но это верное утверждение очень быстро трансформировалось в представление о том, что эти три варианта геометрии — единственные решения с постоянной кривизной для уравнений поля.
Подозреваю, что источник этой ошибки в том, что математики и астрономы слабо общались между собой. Математическая теорема гласит, что для любого фиксированного значения кривизны существует единственная метрика пространства-времени постоянной кривизны; на этом основании очень легко (даже слишком!) решить, что и геометрия тоже должна быть единственной. В конце концов разве метрика не определяет пространство?
Нет.
Гауссов муравей сделал бы ту же ошибку, если бы не знал разницы между плоскостью и цилиндром. Метрика у них одинаковая, а топология — разная. Метрика определяет только локальную, но не глобальную геометрию. Это же различие (и с этими же последствиями) действует и в общей теории относительности.
В качестве исключения и приятного оксюморона можно привести плоский тор. Тор имеет форму бублика с центральным отверстием, и его просто невозможно назвать плоским в обычном смысле этого слова. Тем не менее существует плоское (нулевой кривизны) многообразие с топологией бублика. Возьмем квадрат — он плоский — и концептуально склеим вместе противоположные его стороны. Квадрат для этого не нужно физически сгибать, достаточно объявить тождественными соответствующие точки на противоположных его сторонах, то есть добавить геометрическое правило, согласно которому эти точки представляют собой «одно и то же».
