Помимо знака ре у египтян был еще один, обозначавший дробь 1/2 или, как это ни странно, знак, обозначавший 2/3, что в реальности означало «две части» (из трех), и еще один для 3/4. Значок 2/3 играл очень важную роль в египетской арифметике, а вот значок 3/4 совсем, по-видимому, не использовался, кроме как, вероятно, в метрологии.
Самыми важными расчетами для египтянина были те, в которых применялись деление и умножение, причем деление представляло большие сложности.
Для того чтобы ускорить процесс деления, египтяне составляли таблицы, в которых записывались серии ре-дробей, где число 2 делилось на все нечетные числа до 101. Писцы использовали эти таблицы так же часто, как мы – таблицы логарифмов. Существовали, по-видимому, и другие таблицы, в которых приводились значения 2/3 разных чисел, хотя мы не знаем, как они выглядели. И только в поздние времена появились таблицы со значениями дробей 1: 7, 2: 7
[58], 3: 7 и т. д., как суммы делителей
[59].
Раскладывание числа 2, деленного на нечетные числа от 5 до 47, таковы:
Не всегда понятно, почему египтяне предпочли именно эти значения для деления 2, хотя имеется много других. По-видимому, эти таблицы были составлены с учетом опыта многих поколений, а приведенные значения дробей – наиболее легкими для использования.
Таким образом, египетский метод умножения и деления представлял собой систему проб и ошибок, состоявших из удвоения, деления на две части и умножения на две трети. Сначала определяли две трети какого-то количества и уже на основе этого, в случае необходимости, вычисляли одну треть, одну шестую и т. д. Процесс определения двух третей от целого числа не представлял особых трудностей. Что касается дробей, то древний метод заключался в прибавлении половины к одной шестой части. Так, 2/3 от 1/5 равняется 1/10 + 1/30, аналогичным образом, 2/3 от составляло 1/22 + 1/66. Почему египтяне в первую очередь не определяли одну треть нужного количества, мы не можем объяснить. Умножение на число, превышавшее 2 (за исключением 10), производилось, вероятно, очень редко. Папирус Ринд, представляющий собой более или менее продвинутую работу, почти не приводит примеров простого умножения или деления. Повсюду видно странное стремление все усложнять, и почти везде опущены этапы, очевидные для египтян, но часто непонятные для современного ума. Ниже приводятся примеры простого умножения и деления, выполненных древним способом, которые содержатся в папирусе Ринд и помогут читателям понять, в чем заключается проблема, поскольку ряд этапов в этих операциях опущен.
(Способ сложения дробей объясняется ниже.)
[60]
2) Получить 49 из 11 (разделить 49 на 11) 1 (умноженное на 11 дает) 11
Два, полученное из 11, – это 1/6 1/66 Найдено (см. таблицу дробей)
Сколько двоек укладывается в 5
Ответ 21/2
Умножить 1/6 1/66 на 21/2
Всего 21/2» Ответ: 1/3 1/11 1/33
Прибавить число 4 Конечный ответ 41/3 1/33.
Мы видим, что решение заключается в следующем: 1) сначала выясняют, сколько раз 11 содержится в 49 и каков остаток, 2) а затем, зная значение 2: 11, находят, умножая его на 21/2, значение остатка, или 5, разделенное на 11.
3) Задача № 30 из папируса Ринд
Если писец говорит тебе:
«10 стало 2/3 1/10 от какого числа?
То пусть он услышит:
Ты используешь 2/3 1/10, чтобы определить 10
[61]
Всего, количество, которое называет это 131/23.
(Доказательство)
Всего 10
Следует отметить, что процесс сложения дробей и определения, каким образом дробь 2/3 1/10 составляет 1/30, не приведены. Другие задачи, однако, приводят весь ход сложения дробей, который в принципе мало отличается от современного способа приведения их к общему знаменателю. В задаче № 32, приведенной в папирусе Ринд, необходимо сложить целый ряд дробей, чтобы доказать, что их сумма равна 1/4. Процесс решения заключается в следующем
[62]:
