Профессор А.Э. Тейлор, если я его правильно понял, считает, что математические объекты относятся к области идеальных пространственных величин. Он указывает, что свойства окружностей, например, можно изучать с помощью численных уравнений, но они сами по себе не являются числами, поэтому они не относятся к самому верхнему отрезку линии, где располагаются αί άρχαί или Формы, которые Платон отождествлял с Числами. С другой стороны, идеальные пространственные величины, то есть объекты, изучаемые геометрией, не являются чувственными объектами, поэтому они не могут принадлежать к области τά δρατά . Поэтому они занимают промежуточное положение между Числами–Формами и Чувственными Объектами. Я готов согласиться с тем, что это справедливо по отношению к объектам, которые изучает геометрия (например, пересекающимся окружностям и т. д.), но можно ли исключить из области τά μαθηματικά объекты, которые изучает арифметика? Ведь Платон, говоря о тех, кто постигает рассудком, имел в виду не только тех, кто изучает геометрию, но и тех, кто изучает арифметику и родственные науки. Однако из этого вовсе не следует, что объекты, изучаемые математикой, ограничиваются лишь идеальными пространственными величинами. Мы думаем, что Платон должен был бы ограничить подобным образом сферу математических сущностей, однако мы должны принимать во внимание не то, что он должен был бы утверждать, но и то, что он говорил на самом деле.
Вероятнее всего, он понимал под математическими сущностями объекты и геометрии, и арифметики (и не только этих двух наук, как следует из замечания о «родственных науках»). Как же нам тогда понимать замечание Аристотеля о том, что для Платона числа не складываются друг с другом? Я думаю, что мы должны учесть это замечание, помня, что Платон ясно видел, что числа сами по себе уникальны. С другой стороны, также ясно, что мы можем складывать группы или классы объектов и говорим о числе как о характеристике класса. Числа мы складываем, но они обозначают классы конкретных объектов, хотя они являются объектами, но не чувственного восприятия, а разума. Поэтому о них можно говорить как об умопостигаемых частностях, которые принадлежат к области математики, так же как и идеальные пространственные величины геометрии. Аристотелева теория числа может быть сама по себе ошибочной, и потому он мог в определенном смысле неправильно истолковать теорию Платона; но если он заявлял со всей определенностью, что Платон выделил промежуточный класс математических сущностей, то вряд ли он ошибался. Более того, высказывания самого Платона не оставляют места для сомнений, не только потому, что он действительно выделил такой класс, но и потому, что он вовсе не собирался ограничить этот класс только лишь идеальными пространственными величинами.
(Утверждение Платона о том, что математические гипотезы – он упоминает «чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде», – взятые в связи с главным принципом, познаются на более высоком уровне мышления, а также его утверждение, что этот уровень мышления связан с главным принципом, что самоочевидно, позволяют предположить, что он приветствовал бы современные попытки свести чистую математику к их логическим основаниям.)
Осталось вкратце рассмотреть самый верхний отрезок линии. Состояние ума, νόησις, соответствующее ему, – это состояние ума человека, использующего в качестве отправной точки гипотезы рассудка и поднимающегося до первых принципов. Более того, в этом процессе (иными словами, в диалектическом процессе) ум не пользуется «никакими «образами», но лишь самими идеями в их взаимном отношении, и его выводы относятся только к ним». Четко осознав главные принципы, ум делает из них выводы, по–прежнему используя только абстрактные рассуждения, но отнюдь не чувственные образы9. Объекты, соответствующие уму, – это διάνοια главные принципы или Формы. Это не только гносеологические, но и онтологические принципы, и более подробно они будут рассмотрены позже, однако следует упомянуть следующее. Если бы вся проблема заключалась только в том, чтобы познать главные принципы с помощью рассудка (как, например, в современных попытках редукции математики к ее логическим основаниям), тогда можно было бы без труда понять, что имел в виду Платон, но он называл диалектику способом «опровержения гипотез»10, что очень сильно сказано, поскольку хотя диалектика и способна показать необходимость пересмотра математических постулатов, однако трудно понять, хотя бы на первый взгляд, как она может опровергать гипотезы. Мысль Платона станет яснее, если мы рассмотрим одну конкретную гипотезу, которую он упоминает, – четные и нечетные числа. Платон признает существование чисел, которые не являются ни четными, ни нечетными, то есть иррациональных, а в «Послезаконии» он требует признать в качестве чисел квадраты и третьи степени «иррациональных величин». Если это так, то задача диалектики заключается в том, чтобы показать, что традиционная гипотеза математики, гласящая, что иррациональных чисел нет, а есть целые числа, которые могут быть либо четными, либо нечетными, не совсем соответствует истине. Опять же Платон отказался признать пифагорейскую идею «единичной точки» и называл точку «началом линии». По его мнению, единичная точка, то есть точка, имеющая свой собственный размер, – это выдумка геометров, «геометрическая фикция»11, и эту гипотезу следует отбросить.
3. В седьмой книге «Государства» Платон иллюстрирует свою гносеологическую теорию знаменитой аллегорией пещеры. Я вкратце опишу эту аллегорию, поскольку из нее ясно видно (если требуются еще какие–то доказательства), что восхождение души от нижних отрезков линии к верхним представляет собой гносеологический прогресс и что Платон рассматривал этот процесс не как непрерывную эволюцию, а скорее как ряд «переходов» от менее адекватного к более адекватному когнитивному состоянию.
Платон предлагает нам представить подземную пещеру, имеющую выход наружу. В этой пещере живут человеческие существа, у которых с малых лет на ногах и на шее оковы, которыми они прикованы так, что обращены лицом к стене, и видят они только то, что перед глазами. Они никогда не видели солнечного света. За спиной у них на возвышении горит огонь, а между огнем и узниками располагается невысокая стена, нечто вроде ширмы. За этой стеной проносят статуи людей, изображения живых существ и другие вещи – они как бы проплывают над стеной. Узники, лица которых обращены к стене пещеры, не видят ни друг друга, ни предметов, проносимых за их спинами, они видят только свои тени и тени, отбрасываемые движущимися объектами на стену пещеры. Итак, они видят только тени.
Эти узники олицетворяют бо́льшую часть человечества, тех людей, которые проводят всю свою жизнь в состоянии εικασία, воспринимая только тени реального и слыша только эхо истины. Они имеют превратное представление о мире, искаженное «их собственными страстями и предрассудками, а также страстями и предрассудками других людей, передаваемыми им с помощью языка и риторики». И хотя их ум находится на том же уровне развития, что и у детей, они держатся за свои искаженные взгляды со всем упорством взрослых и не имеют никакого желания вырваться из своей тюрьмы. Более того, если бы их вдруг случайно освободили и велели бы взглянуть на реальное положение вещей, от которого они раньше видели только тени, они были бы ослеплены ярким светом и решили бы, что тени гораздо более реальны, чем настоящие предметы.
