Если вы случайно забыли, что такое логарифмы, напомню, что в них нет ничего особенно сложного и страшного. Смотрите: 100 — это 10 в квадрате, или 102. Так вот, логарифм 100 — это просто 2. Число 2 пишется, как видите, справа сверху и называется экспонентой — от латинского глагола, означающего «поместить в стороне». Экспонента описывает логарифм. Число 1000 можно записать как 103, и логарифм 103 — э3. Если умножить 100 на 1000, получится 100 000. Думаю, вы уже понимаете, к чему я клоню. 100 000 можно записать как 105, а это то же самое, что сказать, что логарифм 100 000 — это 5. Прелестно. Значит, 102 умножить на 103 будет 105. Перемножать числа не нужно. Сложите логарифмы — и все: 2 + 3 = 5. Логарифмы облегчают жизнь именно так, как любят ботаны. Делают ее, можно сказать, экспоненциально легче. Но это не все, отнюдь не все. Логарифм не обязательно представляет собой целое число. Логарифм 10 — это 1 (101 = 10), логарифм 100 — 2. Интуитивно понятно, что логарифм 50 должен быть где-то между 1 и 2. И верно: он равен примерно 1,70. Получите еще одну дозу арифметических красот. Логарифм 1 — это 0 (100 = 1), поэтому логарифм 5 очень близок к 0,70: это всего-навсего логарифм 50 минус логарифм 10.
Не верится, что любое число в нулевой степени равно 1? А между тем так и есть, и я вам это докажу одним предложением: все, что угодно, помноженное на 1, остается самим собой, поэтому все, что угодно, возведенное в нулевую степень, должно быть равно 1, иначе умножение не сработает. Звучит бравурная музыка.
Логарифмы — важнейшая часть языка науки, поскольку дают удобный способ записывать головокружительно большие и маленькие числа, с которыми сталкиваешься, когда выходишь за рамки восприятия человеческих органов чувств. Сколько звезд в наблюдаемой Вселенной? Да примерно 1023. Сколько атомов на Земле? Примерно 1050. Благодаря логарифмам так приятно пользоваться логарифмической линейкой — надо просто привыкнуть. Когда двигаешь одну логарифмическую шкалу относительно другой логарифмической шкалы и читаешь, что получилось в сумме, точно так же как мы делали, когда измеряли ширину столика, у тебя получаются не привычные числа системы 2 + 2. Получаются сложенные логарифмы. Иначе говоря, мы умножаем, складывая. А когда двигаем шкалу в обратном направлении, то делим числа, вычитая логарифмы. Ну и дела! Снова звучит бравурная музыка.
В старших классах и в колледже мы устраивали соревнования — кто быстрее умножит, поделит, умножит на число π (пи), извлечет квадратный корень и тому подобные развлечения. Обычный такой соревновательный вид спорта у ботанов. Я показывал приличные результаты. Однако в высшей лиге у нас был Кен Северин. Он получил целых 800 — высший балл — за отборочный тест SAT второго уровня
[1]. После школы он поступил в Калифорнийский технологический институт (Калтех) и стал специалистом по применению электронов для получения изображений очень мелких предметов — теперь это обычный инструмент в любой лаборатории, он называется электронный микроскоп. Потом, уже став доктором Северином, он преподавал в Университете штата Аляска и основал там Лабораторию передового оборудования для геологических исследований. В школе мы с ним были лучшие друзья. Вместе устраивали всякие ботанские приключения, возились с резисторами, транзисторами, конденсаторами и тому подобным.
Если тонкости обращения с логарифмической линейкой вас несколько смутили, не огорчайтесь. Чтобы научиться держать в памяти все численные закономерности, нужно много тренироваться, и отчасти в этом-то и дело. Чтобы овладеть математикой, физикой и другими сложными ремеслами, придется потрудиться. Поэтому логарифмическая линейка — это символ интеллектуальной гордости, своего рода медаль. Нет, что вы, какая медаль! Это гигантский маячище, будто прожектор на взлетно-посадочной полосе, оповещающий всех вокруг, что вы принадлежите к миру ботанов. Мы обожали свои логарифмические линейки. Это были объекты поклонения. Мы натирали подвижную шкалу тальком, чтобы лучше скользила. Мы подтягивали винтики-ограничители, чтобы шкала двигалась с идеальным трением — максимум скорости, минимум погрешностей из-за неточного совпадения делений. И дорожить ими у нас была особая причина, помимо бахвальства: если умеешь пользоваться логарифмической линейкой, начинаешь интуитивно чувствовать относительные размеры более или менее всего на свете. Моя логарифмическая линейка изменила мою жизнь. Я понял, что если просто двигать шкалы друг относительно друга, можно быстро пройти весь диапазон физики от атомов до целой Вселенной. Весь мир на кончиках пальцев!
В один памятный день в 1972 году, когда я уже учился в старших классах, мой соученик из семьи инженеров притащил в школу новенький «Хьюлетт-Паккард 35» — самый первый карманный калькулятор. «35» означало, что у него было 35 клавиш. Он умел не просто умножать и делить, но еще и находил синусы и косинусы и извлекал квадратные корни. Даже находил неуловимые «натуральные логарифмы» чисел! Вот это да. Это был прародитель всех прочих карманных калькуляторов, которых появилось потом великое множество. А еще это был провозвестник революции персональных электронных устройств, в результате которой годы спустя появились домашние компьютеры, ноутбуки и смартфоны.
А надо вам сказать, что для нас, ботанов, и тогда и сейчас умение тонко чувствовать числа — предмет особой гордости. Мы заранее ощущаем, каким примерно должно быть то или иное число. Я имею в виду, что когда мы работаем с числами, даже очень большими или очень маленькими, то сразу, в уме, понимаем, где должна стоять десятичная запятая. Во дни моей молодости мы считали, что это благодаря применению логарифмической линейки. На ней 1,7 выглядит точно так же, как 17, 0,17, 170 или 1 миллион 700 тысяч. И «линейщики» вроде нас должны были внимательно следить за степенями десятки, прикидывая, каким должен быть ответ по порядку величины. Нужно было нутром чувствовать числа. Электронный калькулятор позволяет об этом не думать. Поэтому тогда нам казалось, что позволять какой-то коробчонке с проводками делать за тебя всю работу — это жульничество. Только представьте себе: если умножать на HP-35, скажем, 9 на 9, получишь 81 (все верно), но если попросишь его подсчитать 92, то есть 9 в квадрате, получишь 80,999999. Значит, где-то в электронную логику вкралась крошечная ошибка округления. Ой-ой-ой, подумал я. Лучше буду и дальше считать на моей логарифмической линейке.
Дело кончилось тем, что электронные калькуляторы не произвели на нас с приятелями особого впечатления, по крайней мере поначалу. Мы сочли, что они неоправданно дороги и явно полны недостатков.
Первый HP-35 стоил 395 долларов — по нынешним ценам это приблизительно 2300 долларов. Ничего себе.
Свою верную логарифмическую линейку производства фирмы «Пикетт», модель N3-ES, я взял с собой из школы в колледж. Когда я поступил в техническую школу, там у всех еще были логарифмические линейки, большинство из нас ими очень дорожили. Моя «Пикетт» из магниевого сплава, как говорят, была точно такой же, как и та, которую астронавты с «Аполлона-11» брали с собой на Луну: вдруг придется проверить кое-какие числа? Впоследствии я обнаружил, что моя модель во многом даже лучше, чем у НАСА. На ней было больше шкал, чем на тех, которые слетали в космос и обратно, а значит, она могла производить больше разных вычислений. Видите? Меня могли взять в астронавты!
