поделим обе части на 10ⁿ:
Что мы выяснили? С одной стороны, все элементы интересующего нас возрастающего ряда меньше 1. С другой стороны, какое бы число x меньше единицы мы ни взяли, рано или поздно возникнет элемент ряда, превышающий x (а последующие будут нарастать и все больше удаляться от x).
Наш ряд неуклонно приближается к 1. Математики говорят, что этот ряд стремится к 1. Или, что то же самое, 1 представляет собой предел ряда.
Значение десятичной дроби с конечным числом символов – это сумма определенного количества десятых, сотых, тысячных и т. д. Например:
К сожалению, язык десятичных дробей с конечным числом символов слишком скуден, чтобы выразить, например, 2/7. Поэтому нам необходимо расширить лексикон.
Значение десятичной дроби с бесконечным числом символов равно пределу ряда, где на каждой ступени элемент прирастает на одну цифру. Это сложно, однако дает нам возможность выражать все числа, используя десятичную систему счисления.
Уходим в беспредел!
Нужно приложить определенные усилия, чтобы увидеть в бесконечной десятичной дроби предел ряда. Попробуем посмотреть проще.
Вернемся к знакомому нам 0,999999… Пусть:
Умножим обе части равенства на 10:
Вычтем (A) из (B):
Теперь поделим обе части на 9 и убедимся, что X = 1. Готово! Все оказалось просто.
Этот фокус можно повторить для любой периодической десятичной дроби. Например:
Умножим обе части на 100 (чтобы цифры встали в строй):
100Y = 27,27272727… – (D)
и вычтем (C) из (D):
Таким образом, Y = 27/99 = 3/11.
Вот видите
[40]! Зачем утруждать себя «сходимостями» и «пределами»? Но с бесконечными последовательностями нужно быть осторожнее. Представим себе сумму:
Z = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … (E)
Умножим обе части равенства на 2:
2Z = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … – (F)
и привычно вычтем (E) из (F):
Стало быть, Z = –1? Что за абсурд?
Где мы допустили оплошность? Мы ушли в беспредел. Алгоритм, позволяющий установить значение 0,9999999… и 0,2727272727…, дал сбой, когда мы взялись за ряд 1 + 2 + 4 + 8 + 16… Во всех трех случаях речь шла о бесконечной последовательности. В чем разница? Ответ: в сходимости. Не понимая толком, что такое сходимость ряда, мы запросто придем к выводу, что сумма положительных чисел может быть отрицательным числом. Операции с выражениями (A) и (B), а также (C) и (D) математически корректны, потому что мы имеем дело со сходящимися последовательностями.
Глава 4
√2
Перед началом концерта музыканты настраивают инструменты по одной ноте, чтобы добиться гармоничного звучания. Однако это невозможно. Скоро мы увидим почему.
Рациональные числа
Целые числа прекрасно ладят с тремя простейшими арифметическими действиями – со сложением, вычитанием и умножением. Мы производим эти операции над двумя целыми числами и получаем целое же число. А вот деление одного целого числа на другое
[41] может привести к дробному результату.
Числа, представляющие собой результат деления целого числа на целое, называют рациональными
[42]. Например, 1,5 – это рациональное число, потому что равно 3/2.
Целое число 3 рациональное, потому что 3 = 3/1 (а еще 6/2, 12/4 и т. д.). Все целые числа – рациональные.
Целые числа ладят с тремя арифметическими действиями, а рациональные числа – со всеми четырьмя. Сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел всегда будут рациональным числом (с привычной оговоркой о неправомерности деления на ноль).
Рациональные числа пригодны для описания повседневной жизни. Величины, которые мы измеряем, – вес, интенсивность звука, расстояние, цена, температура, время, численность населения, радиочастоты – выражаются рациональными числами.
Но если рациональные числа удобны для работы и над ними можно осуществлять арифметические операции, зачем нам другие числа?
Можно задаться более фундаментальным вопросом: существуют ли другие числа?
Диагональ квадрата
Каково расстояние между противоположными вершинами квадрата? Позже, в главе 14, мы обсудим решение этой задачи. Сейчас же достаточно знать, что длина диагонали квадрата 1 × 1 равна √2
Если умножить число √2 само на себя (другими словами, возвести в квадрат), мы получим 2. Посчитайте приблизительное значение √2 на калькуляторе. А теперь давайте посмотрим, можно ли приблизиться к этому числу с помощью ручки и бумаги.
Начнем с того, что, если возвести в квадрат 0, получится 0, а если возвести в квадрат 1, получится 1. Наша цель 2, а найденные числа меньше. С другой стороны, если возвести в квадрат 2, мы получим 4, а если возвести в квадрат 3, получим 9. Это больше, чем нам нужно.
1² – слишком ма́ло, 2² – слишком много. Попробуем найти величину между 1 и 2, перемещаясь с шагом 0,1, как показано в таблице.
