Книга Путеводитель для влюблённых в математику, страница 40. Автор книги Эдвард Шейнерман

Разделитель для чтения книг в онлайн библиотеке

Онлайн книга «Путеводитель для влюблённых в математику»

Cтраница 40

Путеводитель для влюблённых в математику

Охота на равносторонние треугольники

Вместо биссектрис проведем трисектрисы углов треугольника – отрезки, рассекающие каждый угол треугольника на три равные между собой части. В общей сложности это будет шесть отрезков (по два для каждого угла). Разумеется, все они не могут пересечься в одной точке, но точки, где они пересекаются, образуют малый треугольник внутри большого.


Путеводитель для влюблённых в математику

Ошеломительная теорема Морли [146] утверждает, что этот малый треугольник всегда будет равносторонним!

Можно отыскать и другой равносторонний треугольник, сопутствующий любому произвольно взятому треугольнику. Построим на трех сторонах треугольника (на рисунке он начерчен жирными линиями) три равносторонних треугольника (начерчены тонкими линиями). Отметим центры этих равносторонних треугольников:


Путеводитель для влюблённых в математику

Соединим три центра и – вуаля! – получим очередной равносторонний треугольник.


Путеводитель для влюблённых в математику

Теорема Пика для четырехугольников

Нарисуем четырехугольник с целочисленными вершинами на клетчатой бумаге и проведите диагональ. Таким образом, мы получаем два треугольника с общей стороной:

Путеводитель для влюблённых в математику

Мы можем посчитать площади двух треугольников, пользуясь теоремой Пика, а затем сложить получившиеся величины. Обозначим эти два треугольника L и R и получим:

Путеводитель для влюблённых в математику

Таким образом, площадь четырехугольника равна 16 + 36 = 52.

Но, ко всеобщему восхищению, теорема Пика верна также для четырехугольников! И вот почему.

Вместо нового пересчета точек давайте воспользуемся результатами, уже полученными ранее.

Внутри левого треугольника 13 точек, внутри правого – 31 точка. Обратите внимание, что три точки на диагонали тоже лежат внутри четырехугольника; включим их в наши расчеты. Это дает IQ= 31 + 13 + 3 = 47.

Что касается границ четырехугольника, мы видим 8 точек на границе левого треугольника и еще 12 – на границе правого, то есть в общей сложности 20 точек. Но тут мы немного перебрали. Три точки на диагонали четырехугольника включать не надо; кроме того, мы посчитали их дважды. Таким образом, нужно вычесть 6. Две точки на концах диагонали тоже посчитаны дважды, потому вычтем еще 2, чтобы компенсировать перебор. Это дает BQ= 20–6–2 = 12.

Последний рывок:

Путеводитель для влюблённых в математику

Невероятно! Это правильный ответ! Как такое возможно?

Площади двух треугольников, L и R, дают в сумме:

Путеводитель для влюблённых в математику

Это не что иное, как площадь четырехугольника. Перегруппируем слагаемые:

Путеводитель для влюблённых в математику

Величина IL + IR не включает некоторые точки внутри четырехугольника, а величина BL + BR оказывается слишком большой из-за точек на границах. Точки на диагонали четырехугольника мы неосмотрительно посчитали дважды, хотя на самом деле они принадлежат величине IQ (и деление пополам исправляет эту оплошность). Конечные точки диагонали тоже оказались посчитаны дважды, когда мы вычисляли точки на границах. Деление на 2 исправляет эту оплошность лишь наполовину, но вычитание 2 (а не 1) ставит все на свои места!

Вы не поверите, но теорема Пика работает для любого многоугольника с целочисленными вершинами.

Центры треугольника вне треугольника

Если треугольник тупоугольный (то есть один из его углов больше 90°), центр описанной окружности и ортоцентр лежат вне треугольника. На рисунке приведен пример окружности, описанной около тупоугольного треугольника.

Путеводитель для влюблённых в математику

Найти ортоцентр тупоугольного треугольника несколько сложнее. Фокус состоит в том, чтобы продолжить его стороны, пока они не пересекутся с соответствующими высотами.

Путеводитель для влюблённых в математику

В треугольнике ABC мы делаем следующие дополнительные построения: (1) проводим через точку A прямую, перпендикулярную BC (эту сторону необходимо продолжить); (2) проводим через точку B прямую, перпендикулярную AC; (3) проводим через точку С прямую, перпендикулярную AB (ее также необходимо продолжить). Точка пересечения этих прямых X и есть ортоцентр.

Глава 14
Пифагор и ферма

Страшила из книги «Волшебник страны Оз» так и не обрел мозги, но получил диплом. Он с гордостью продемонстрировал свой усовершенствованный интеллект, сформулировав абсолютно исковерканную теорему Пифагора: «Сумма квадратных корней из двух сторон равнобедренного треугольника равна квадратному корню из третьей стороны».

На самом деле теорема Пифагора ничего не говорит о равнобедренных треугольниках [147]. Она увязывает длины сторон прямоугольного треугольника (один из углов в этом треугольнике прямой, то есть равен 90°).

Вход
Поиск по сайту
Ищем:
Календарь
Навигация